stetiger Zufallsvektor

24.11.2011, 15:44

ChronoTrigger

stetiger Zufallsvektor

Hallo,

ich möchte folgende Aufgabe lösen:

Zitat:

Gegeben sei ein zweidimensionaler (stetiger) Zufallsvektor $\begin{eqnarray*} (X,Y) \end{eqnarray*}$ auf einem Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray*} (\Omega,F,P) \end{eqnarray*}$ , dessen Riemann-Dichte $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^2 \to [0,\infty) \end{eqnarray*}$ definiert ist durch

$\begin{eqnarray*} f(x,y):=\begin{cases} e^{-2x}& \text{für } x \in (0, \infty), y \in [x,x+2] \\ 0 & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

a) Bestimmen Sie die Randdichten $\begin{eqnarray*} f_X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_Y \end{eqnarray*}$ der Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ .
b) Überprüfen Sie, ob $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ stochastisch unabhängig sind.
c) Bestimmen Sie für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ die bedingte Dichte von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ bei gegebenem $\begin{eqnarray*} X=x \end{eqnarray*}$ .
d) Berechnen Sie die $\begin{eqnarray*} E(Y) \end{eqnarray*}$ .
e) Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} E(XY)=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} xy f(x,y) dydx \end{eqnarray*}$
f) Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) \end{eqnarray*}$

Bisher habe ich mir folgendes überlegt.

zur a)

Hier muss ich $\begin{eqnarray*} f_X(x)=\int_\mathbb R f(x,y) dy \text{ für } x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ bzw.
$\begin{eqnarray*} f_Y(y)=\int_\mathbb R f(x,y) dx \text{ für } y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Damit erhalte ich folgendes:

$\begin{eqnarray*} f_X(x)=\int_\mathbb R f(x,y) dy = \int_{x}^{x+2} e^{-2x} dy = e^{-2x} (x+2-x) = 2e^{-2x} \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} f_Y(y)=\int_\mathbb R f(x,y) dx = \int_{0}^{\infty} e^{-2x} dx = \lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b} e^{-2x} dx \stackrel{u=-2x}{=} - \frac{1}{2} \lim_{b \to \infty} \int_0^{-2b} e^u du = \frac12 \end{eqnarray*}$ , wobei ich hier die Substitution $\begin{eqnarray*} u=-2x \end{eqnarray*}$ benutzt habe.

Ist diese Vorgehensweise korrekt?

zur b)

Ich habe herausgefunden, dass es hierbei reicht zu zeigen, dass das Produkt der beiden einzelnen Randdichten gerade wieder die gemeinsame Verteilung ergibt.

Wenn meine Ergebnisse aus Teil a) richtig sind, käme dies genau hin, denn:

$\begin{eqnarray*} f_X(x) \cdot f_Y(y) = 2e^{-2x} \cdot \frac12 = e^{-2x} = f(x,y) \text{ , falls } x \in (0, \infty), y \in [x,x+2] \end{eqnarray*}$

reicht das schon aus?

vielen dank schonmal im voraus.

28.11.2011, 11:44

Gwyn

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Ja sieht doch gut aus. Sollte soweit alles stimmen,wobei du bei der b) vielleicht noch erwähnen könntest, was passiert wenn die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ nicht in dem geforderten Intervall liegen, aber das sollte ja trivial sein.
Bist du schon weiter gekommen?

28.11.2011, 11:54

ChronoTrigger

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alles klar, danke.

Eine Fallunterscheidung zur b) werde ich dann noch einbauen.

Den Rest der Aufgabe sollte ich mittlerweile auch gelöst haben.

noch eine kleine frage zum Teil f)

Da X und Y nach b) stochastisch unabhängig sind, folgt doch direkt schon, dass die beiden auch unkorreliert sind, d.h. dadurch ist automatisch $\begin{eqnarray*} Cov(X,Y)=0 \end{eqnarray*}$ .

Ist das korrekt?

28.11.2011, 14:14

Gwyn

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Ja deine Folgerung stimmt. Du solltest trotzdem versuchen dies auch durch deine Rechenergebnisse zu verifizieren. $\begin{eqnarray*} E(XY) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E(Y) \end{eqnarray*}$ solltest du ja schon berechnet haben und $\begin{eqnarray*} E(X) \end{eqnarray*}$ ist ja nun auch nicht so schwer zu berechnen. Kommt das mit diesen Werten dann auch hin?

28.11.2011, 15:58

ChronoTrigger

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leider nein.

Ich habe rausbekommen, dass $\begin{eqnarray*} E(XY)=1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} E(X)=\frac12 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E(Y)=x+1 \end{eqnarray*}$ ist, und somit

$\begin{eqnarray*} E(XY)-E(X)E(Y)=1-\frac12 x - \frac 12 = \frac12 - \frac 12x \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ erhalte ich dann zwar 0, für alle anderen Werte von x aber nicht.

Ich kann mir aber auch momentan nicht erklären, wo mein Fehler liegt.

28.11.2011, 16:41

Gwyn

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Soweit ich das beurteilen kann sind deine $\begin{eqnarray*} E(XY) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E(X) \end{eqnarray*}$ richtig. Demnach liegt der Fehler im $\begin{eqnarray*} E(Y) \end{eqnarray*}$ . Das hängt bei dir auch anscheinend noch von einem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ab, was es aber nicht tun sollte.
Vielleicht hilft dir Aufgabenteil c) bei der Lösung des Problems..

28.11.2011, 17:37

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} f_Y \end{eqnarray*}$ ist falsch berechnet: Es steht hier

Zitat:

Original von ChronoTrigger
$\begin{eqnarray*} f(x,y):=\begin{cases} e^{-2x}& \text{für } x \in (0, \infty), y \in [x,x+2] \\ 0 & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

doch klar, dass die Dichte außerhalb des Streifens $\begin{eqnarray*} y\in [x,x+2] \end{eqnarray*}$ gleich Null ist.

Nun ist

$\begin{eqnarray*} y\in [x,x+2] \;\Leftrightarrow\; x\leq y\leq x+2 \;\Leftrightarrow\; y-2 \leq x \leq y \end{eqnarray*}$ .

Damit gilt für $\begin{eqnarray*} y>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_Y(y) = \int\limits_\mathbb R f(x,y) ~ \dd x = \int\limits_{\max(0,y-2)}^y e^{-2x} ~ \dd x \end{eqnarray*}$ ,

bei der Integraluntergrenze wurde dabei berücksichtigt, dass ja außerdem auch $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ für den Dichtewert $\begin{eqnarray*} e^{-2x} \end{eqnarray*}$ gefordert wird!

Zur konkreten Berechnung ist jetzt natürlich noch die Fallunterscheidung $\begin{eqnarray*} 0<y<2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y\geq 2 \end{eqnarray*}$ anzuwenden.

P.S.: Dass $\begin{eqnarray*} f_Y(y) = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ (bzw. alle $\begin{eqnarray*} y>0 \end{eqnarray*}$ ) nicht stimmen kann, ergibt sich bereits durch die einfache Überprüfung der Bedingung $\begin{eqnarray*} \int\limits_{\mathbb{R}} f_Y(y) \stackrel{!}{=} 1 \end{eqnarray*}$ , die hier scheitert. Dieser Vorwurf geht vor allem an dich Gwyn als Helfer, sowas musst du merken. unglücklich

28.11.2011, 19:06

ChronoTrigger

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das habe ich tatsächlich nicht bedacht Hammer

danke.

Falls also $\begin{eqnarray*} 0<y<2 \end{eqnarray*}$ gilt, ist $\begin{eqnarray*} f_Y(y) = \int\limits_\mathbb R f(x,y) ~ \dd x = \int\limits_{\max(0,y-2)}^y e^{-2x} ~ \dd x =\int_0^y e^{-2x} dx = -\frac12 e^{-2y}+\frac12 \end{eqnarray*}$ .

und falls $\begin{eqnarray*} y \geq 2 \end{eqnarray*}$ ist, ist

$\begin{eqnarray*} f_Y(y) = \int\limits_\mathbb R f(x,y) ~ \dd x = \int\limits_{\max(0,y-2)}^y e^{-2x} ~ \dd x =\int_{y-2}^y e^{-2x} dx = -\frac12 e^{-2y}+\frac12 e^{-2y+4} = \frac12 e^{-2y}(e^4-1) \end{eqnarray*}$ .

Mir ist nun aber noch nicht so ganz klar, wie ich $\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R} f_Y(y) dy \end{eqnarray*}$ betrachten kann, um zu überprüfen, ob hierbei nun tatsächlich eine Dichte vorliegt.

28.11.2011, 19:24

HAL 9000

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Zitat:

Original von ChronoTrigger
Mir ist nun aber noch nicht so ganz klar, wie ich $\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R} f_Y(y) dy \end{eqnarray*}$ betrachten kann, um zu überprüfen, ob hierbei nun tatsächlich eine Dichte vorliegt.

Wie gesagt, da muss Wert 1 (=Gesamtwahrscheinlichkeit) herauskommen. Und bei

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^2 \left( -\frac12 e^{-2y}+\frac12 \right) ~ \dd y ~+~\int\limits_2^{\infty} \frac12 e^{-2y}(e^4-1) ~ \dd y \end{eqnarray*}$

ist das auch tatsächlich der Fall - rechne doch selbst mal nach. Augenzwinkern

28.11.2011, 19:52

ChronoTrigger

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Ich hatte fälschlicherweise weiterhin an die Integralgrenzen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} y-2 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ gedacht, was im nachhinein betrachtet recht wenig Sinn ergibt.

Mit den richtigen Grenzen kommt dann auch tatsächlich 1 heraus.

Dadurch, dass nun $\begin{eqnarray*} f_Y(y)=\begin{cases} -\frac12 e^{-2y}+\frac12 & 0 < y < 2 \\ \frac12 e^{-2y}(e^4-1) & y \in [2,\infty) \\ 0 & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$ ist, sind $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ nun aber stochastisch abhängig, oder?

Denn es gilt ja nun $\begin{eqnarray*} f_X(x) \cdot f_Y(y) \neq f_{(X,Y)}(x,y) \end{eqnarray*}$

28.11.2011, 20:01

HAL 9000

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Ja, sie sind abhängig.

28.11.2011, 20:21

ChronoTrigger

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dann noch zum erwartungswert:

$\begin{eqnarray*} E(Y)=\int_{\mathbb R} \! y f_Y(y) \, dy = \int_0^2 y(-\frac12 e^{-2y}+\frac12) dy + \int_2^{\infty} y \cdot \frac12 e^{-2y} (e^4-1) dy \end{eqnarray*}$

Wenn ich das nun ausrechne, erhalte ich $\begin{eqnarray*} \frac78 + \frac{5}{8e^4} + \frac58 - \frac{5}{8e^4} = \frac{12}{8} = \frac32 \end{eqnarray*}$

An meinen Ergebnissen zu $\begin{eqnarray*} E(XY) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E(X) \end{eqnarray*}$ sollte sich nichts ändern, also ist $\begin{eqnarray*} E(XY)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E(X)=\frac12 \end{eqnarray*}$ .

Damit ist dann $\begin{eqnarray*} Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=1-\frac12 \cdot \frac32 = 1- \frac34 = \frac14 \end{eqnarray*}$ .

30.11.2011, 09:35

HAL 9000

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Ja, stimmt. $\begin{eqnarray*} E(Y) \end{eqnarray*}$ kann übrigens auch mit der gemeinsamen Dichte berechnet werden, das ist in diesem Fall hier wegen der einfacheren Struktur vielleicht sogar vorzuziehen:

$\begin{eqnarray*} E(Y) = \int\limits_{\mathbb{R}} \int\limits_{\mathbb{R}} yf(x,y) ~ \dd y ~ \dd x = \int\limits_0^{\infty} \int\limits_x^{x+2} ye^{-2x} ~ \dd y ~ \dd x = \int\limits_0^{\infty} (2x+2)e^{-2x} ~ \dd x = \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

30.11.2011, 18:24

ChronoTrigger

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alles klar, das ist natürlich noch etwas einfacher.

danke euch beiden für die Hilfe, damit sollte die Aufgabe gelöst sein smile

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