Beweis linksinvers, rechtsinvers Matrizen

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DudiPupan Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis linksinvers, rechtsinvers Matrizen
Meine Frage:
Hallo,

ich arbeite gerade an einer Aufgabe, bei der ich nicht weiter komme!

Die Aufgabenstellung lautet wie folgt:

Es seien A und B Matrizen der Dimension nxn über einem Körper K, In die nxn-Einheitsmatrix.
Zu beweisen ist: wenn AB=In gilt, gilt auch BA=In

Meine Ideen:
Wie fange ich das am besten an?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Wegen ist B (bzw. die dadurch induzierte Abbildung) injektiv. Da B eine quadratische Matrix ist, folgt aus der Dimensionsformel, dass B auch surjektiv ist.

Sei also nun beliebig, wähle dazu ein mit und berechne
DudiPupan Auf diesen Beitrag antworten »

Geht das nicht auch irgendwie einfacher?
Also so irgendwie:

AB=I |*B
=> B(AB)=BI
= (BA)B=BI |*A
=> (BA)BA = BIA | da BI=B
=> (BA)BA = BA | => BA muss neutral sein, damit (BA)BA = BA
(=> (I)BA = BA)
=> BA = I

Oder hab ich mir das so zu einfach vorgestellt?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

impliziert in einem Ring mit Nullteilern weder noch .

Nimm dir irgendeine Diagonalmatrix D, die nur 1en und 0en auf der Diagonale hat. Nimm dir dazu noch eine beliebige invertierbare Matrix T.

Dann erfüllt die Matrix die Gleichung , aber M muss sicher nicht die Einheitsmatrix sein.

Dass M dann die Einheitsmatrix ist, folgt nur, wenn M vollen Rang hat. Dann hatte nämlich D schon vollen Rang und war selbst die Einheitsmatrix.

So leicht geht es also nicht.

Ich habe oben aber schon mehr als die halbe Miete abgeliefert. Du musst eigentlich nur noch das machen, was ich im letzten Satz geschrieben habe.
DudiPupan Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich das dann folgendermaßen rechnen?

DudiPupan Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich versuche mal zu verstehen, was hier gemacht wurde. smile
wir haben dadurch, dass wir 2 nxn - Matrizen multiplizieren eine bijektive Abbildung.
Wir suchen uns also zwei Vektoren x und v mit der Eigenschaft:
.
in welchem Sinne ist es wichtig, dass die lineare Abbildung bijektiv ist?
Jedenfalls berechnen wir nun und erhalten: .
Stimmt das?
 
 
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