Spiegelung von Geraden an Geraden |
| 09.01.2007, 16:10 | mathilde | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Spiegelung von Geraden an Geraden
Sitze gerade hier und übe ein bisschen Mathe und trotz Lösung, bekomme ich folgende Aufgabe nicht hin: Gegeben sind die Geraden g1 und g2: g1: und g2: --> Spiegele die Gerade g1 an der Geraden g2. Also in der Lösung steht schonmal, dass ein Punkt gewählt werden soll, der nicht der Schnittpunkt ( Schnittpunkt ist s(1/2/1) ) ist...und was ist wenn der Punkt auf der Geraden liegt? Wie soll ich überhaupt vorgehen? Muss ich einen Verschiebungsvektor oder ähnliches erstellen? Ich dachte mir, ich könnte die beiden Stützvektoren der beiden Geraden nehmen und das wäre dann mein Richtungsvektor...ist das richtig? |
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| 09.01.2007, 16:18 | mathilde | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielleicht ist das ja noch hilfreich, in der Lösung steht folgende Spiegelgerade: |
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| 09.01.2007, 16:23 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo
Das würde die Sache aber deutlich vereinfachen, denn sobald man zwei Punkte an einer Geraden gespiegelt hat kann man daraus ja schon die Bildgerade erstellen. Und dass der Schnittpunkt schonmal ein Punkt der Bildgeraden ist, ist ja gerade das Schöne =) Wenn du jetzt noch irgendeinen anderen Punkt P der Geraden g1 an g2 spiegelst bist du schon fast am Ziel. Um zu spiegeln würde ich mit einer zu g2 orthogonalen Hilfsebene arbeiten, die den Punkt P enthält, eine Hilfsgerade durch den Punkt P in Richtung des Normalenvektors der Ebene bilden und den Durchstoßpunkt D berechnen. Durch den doppelten Abstand von P zu D gelangt man zum Spiegelpunkt P'. Ich hoffe das hilft dir weiter. Gruß Björn |
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| 09.01.2007, 16:38 | mathilde | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was war nochmal der Normalenvektor? *schäm* Kann ich denn auch wie ich es gesagt habe einen Punkt auf g1 und einen Punkt auf g2...am besten die Stützvektor und dann der Verbindungsvektor mal zwei nehmen...ich hätte dann doch einen Verschiebungsvektor = und dann nehme ich nurnoch irgendeinen Punkt auf g1 und adiere ihn mit meinem Verbindungsvektor?! Vertehst du wie ich das meine 
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| 09.01.2007, 16:48 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, ich glaube ich weiss was du meinst. Aber durch deine Methode würde man den Punkt nicht wirklich spiegeln, denn Spiegelungen finden immer senkrecht statt und durch deinen Verbindungsvektor würdest du in irgendeine willkürliche Richtung spiegeln. Ein Normalenvektor einer Ebene steht immer senkrecht zu dieser. Da die Hilfsebene senkrecht zu g2 verlaufen soll entspricht ein Normalenvektor dieser Ebene dem Richtungsvektor von g2. Gruß Björn |
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| 09.01.2007, 17:01 | mathilde | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
aber muss diese Hilfsebene denn nicht orthogonal zu g1 sein? denn die soll ja an g2 gespiegelt werden! |
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| 09.01.2007, 17:08 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, das würde dann keinen Sinn machen....mach dir mal eine Skizze dazu, dann siehst du es vielleicht besser. Aber ich habe oben Quatsch geschrieben, denn du brauchst keine Hilfsgerade mehr, sondern musst nur den Durchstosspunkt von Ebene und g2 berechnen, entschuldige 
Gruß Björn |
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| 09.01.2007, 17:27 | mathilde | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
und ist dieser Durchstoßpunkt nicht mein Schnittpunkt? Eigentlich reicht es doch den doppelten Abstand zu Schnittpunkt zu nehmen...oder? |
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| 09.01.2007, 17:30 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Würden sich die Geraden zufällig senkrecht schneiden wäre der Durchstoßpunkt tatsächlich gleich dem Schnittpunkt....das muss aber keineswegs so sein und ist eher die Ausnahme. |
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| 09.01.2007, 17:34 | mathilde | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
und wie berechne ich dann den Durchstoßpunkt? Geht das mit dieser Formel hier wobei P(3/4/0) auf g1 liegt. |
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| 09.01.2007, 17:40 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das wäre schonmal eine Normalengleichung der Hilfsebene. Ich würde das jetzt noch in Koordinatenform umwandeln und dann g2 als Vektor da einsetzen und nach dem Parameter s auflösen. |
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| 09.01.2007, 17:53 | mathilde | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Tut mir leid...ich weiß ich bin schlimm...aber wie soll ich denn diese Gleichung überhaupt auflösen?! Am Ende muss doch irgendwas mit na1 + na2 + na3= z rauskommen richtig? Könnte es sein, dass rauskommt: -2x1 +x2 + 2x3= -2 ? Falls nicht, hab ich irgendwas falsch gemacht... und falls doch...was soll ich von g2 wo einsetzen? Und meinst du den Parameter s in g2? Wenn ja, wo soll ich da denn noch was einsetzen?
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| 09.01.2007, 18:02 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genauso ist es 
Betrachte nun die Gerade als Vektor Setze damit für x1=7-2s in die Ebene ein, für x2......usw Dadurch entsteht eine Gleichung, die man jetzt nach s auflösen kann. Was du für s erhälst musst du dann wieder in g2 einsetzen, um den Ortsvektor zum Durchstoßpunkt zu erhalten. Achja und wegen
Nein, überhaupt nicht....wenn du das schon alles wüsstest wäre es ja langweilig 
Gruß Björn |
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| 09.01.2007, 18:02 | mathilde | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich GLAUBE ich habs: kommt für s= 25 raus? |
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| 09.01.2007, 18:07 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, ich erhalte s= 23/9 Schau nochmal in meinen letzten Beitrag. |
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| 09.01.2007, 18:17 | mathilde | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich hab 23/5 raus 
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| 09.01.2007, 18:30 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
-2(7-2s)-1+s+2(-5+2s)=-2 Das nach s aufgelöst ergibt s=23/9 |
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| 09.01.2007, 18:44 | mathilde | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
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oh ja richtig...war von mir falsch abgeschrieben! und als s kommt dann tatsächlich raus s(1,89/ 1,55 / -2,44) ??? Ein seltsames Ergebnis...oder?! |
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| 09.01.2007, 18:50 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die letzte Koordinate des Durchstoßpunktes stimmt nicht. Und vermeide dringend hier mit gerundeten Werten zu rechen, andernfalls wirst du niemals auf das richtige Ergebnis kommen 
Schreibe die Koordinaten ruhig alle als Bruch mit dem Nenner 9. Und nun musst du noch eine Vektorgleichung für den Ortsvektor zum Spiegelpunkt P' erstellen. Der Richtungsvektor der Spiegelgeraden ist dann der Vektor SP' (wobei S hier der Schnittpunkt (1/2/1) der Geraden ist). Gruß Björn |
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| 09.01.2007, 19:07 | mathilde | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Alles klar 
Jetzt komme ich auch auf die Werte in der Lösung
Falls du noch Zeit hast, kannst du mir vielleicht noch für die folgende Aufgabe einige Tipps geben?!--> Der Punkt P1(3/1/-1) liegt auf g2. P2 soll so bestimmt werden, dass er auf g1 liegt und das Dreieck P1SP2 gleichschenklig ist... hierfür müssen ja mindestens zwei Seiten gleich lang sein...aber irgendwie stell ich mir das ganze sehr sehr kompliziert vor...aber ich wette, dass es eigentlich ganz einfach ist...oder nicht?! |
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| 09.01.2007, 19:20 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Berechne die Länge der Seite (des Vektors) SP1. Damit das Dreieck P1SP2 gleichschenklig ist müsste z.B. die Länge von SP1 gleich der Länge von SP2 sein. Drücke nun den Punkt P2 als Punkt der Geraden g1 aus und zwar analog wie du oben schon die Gerade g2 als Vektor mit den Koordinaten x1.x2 und x3 ausgedrückt hast. Hilft das schon oder brauchst du noch etwas Hilfe ? Gruß Björn |
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| 09.01.2007, 19:42 | mathilde | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Heißt das etwa ich mache das gleiche, was ich auch für die Berechnung der Koordinaten für den Durchstoßpunkt gemacht habe?? |
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| 09.01.2007, 19:46 | mathilde | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich muss jetzt leider los und kucke dann morgen früh vorbei! Ich danke dir aber herzlichst bis hier hin! 
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| 09.01.2007, 19:52 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, komplett dasselbe läuft hier nicht ab, nur vom Prinzip her entspricht der Schritt mit dem Geradenvektor dem, was man auch hier für die Koordinaten des unbekannten Punktes P2 mit den Koordinaten ( x1/ x2 / x3) machen muss. Wenn P2 ein Punkt der Geraden g1 ist muss doch z.B. für die x1-Koordinate gelten x1= 1+2r....für x2 gilt dann.....usw Nachher musst du dann die Länge des Vektors SP2 in Abhängigkeit von r berechnen und das dann gleich der Länge des Vektors SP1 setzen. Dann nach r auflösen. Dadurch erhälst du einen Wert für r, den du dann wieder in g1 einsetzen kannst, wodurch du den Ortsvektor zum Punkt P2 erhälst. Gruß Björn |
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| 14.01.2007, 09:40 | mathilde | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo Björn;-) Leider muss ich nochmal zurück zu der ersten Aufgabe! Mein Lehrer macht das mit dem Lotfußpunktverfahren....aber wie soll das bitte gehen? Soll der Abstand berechnet werden und dann einfach der doppelte genommen werden? |
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| 14.01.2007, 12:37 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo
Du hast ja oben im Prinzip auch das Lotfußpunktverfahren angewendet, denn wenn man g2 als Lot betrachtet, wäre der Schnittpunkt von g2 und der Hilfsebene auf der Lotfußpunkt. Habt ihr es im Unterricht vielleicht ohne Hilfsebene gemacht ? Wenn du eine weitere Gerade aufstellen würdest, die durch den gewählten Punkt von g1 und durch den Lotfußpunkt verläuft, dann könntest du auch einfach in diese Geradengleichung das 2-fache vom vorher berechneten Geradenparameter einsetzen und erhälst direkt den Spiegelpunkt. Oder wie seit ihr da sonst vorgegangen? Gruß Björn |
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| 15.01.2007, 10:26 | mathilde | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wir haben das gar nicht im Unterricht gemacht! Mein Lehrer meinte nur, man müsse das Verfahren anwenden. Also mal enfach ausgesprochen: zunächst berechnet man ja bei diesem Verfahren den Parameter...und dann den Vektor der vom Punkt auf der Geraden zu dem Punkt auf g2/ den Durchstoßpunkt wie du ihn nennst geht... jetzt hab ich also den halben Vektor...und was mach ich dann? Nehm ich den einfach mal zwei und habe dann das Ergebnis... oder Addiere ich ihn mit meinem Punkt auf g1? |
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| 15.01.2007, 11:16 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also wenn, dann musst du den zweifachen Vektor zu dem Punkt auf g1 dazu addieren. Gruß Björn |
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| 18.01.2007, 14:30 | mathilde | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
okay, ich hab jetzt die Lösung: wie du sagtest: Schnittpunkt plus zwei mal der Vektor PF..also vom Punkt P zum Durchstoßpunkt. Und dann kommen wir auf das selbe raus, was wir auch hatten;-) Aber vielleicht kannst du mir da noch etwas helfen, denn ich bekomme das gedanklich nicht ganz hin! Ich möchte ja zum Punkt P'....und ...dann hierbei gehe ich vom Ursprung aus..wieso kann ich denn nicht den Ortsvektor von P nehmen und dann den doppelten Vektor PF? Dann komme ich doch auch zum Punkt P'...oder nicht? Den Schnittpunkt bräuchte ich dann also erst gar nicht... und dann hatten wir zu dieser Aufgabe noch folgende Formel, die mir allerdings egal wie rum ich es drehe, nichts sagt...vielleicht weißt du ja weiter? Vielen Dank mal wieder
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| 20.01.2007, 11:12 | mathilde | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
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entschuldigt die Störung, aber man hat mich vergessen 
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| 20.01.2007, 12:57 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sorry, das sollte natürlich nicht sein!
Wie bekommst du denn den Vektor PF, wenn du - wie gesagt - den Schnittpunkt F gar nicht brauchst?? Und zu Das sollte die Gleichung einer Normalen zu g2 durch einen Punkt der Geraden g1 sein, die den Punkt F enthält. Mit den angegebenen Koordinaten ist dies jedoch nicht nachvollziehbar. mY+ |
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