Konvergenz berweisen und Grenzwert berechnen

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loop_ Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz berweisen und Grenzwert berechnen
Sei und seien a > 0 und x1 > 0 reelle Zahlen. Die Folge werde
rekursiv definiert durch:



Zeige, dass die Folge konvergent ist, und berechne ihren Grenzwert.


Also ich habe gehört man macht das durch Monotonieverhalten. Leider war ich ja zwei Wochen nicht da und habe das ganze nicht wirklich gemacht.

Deswegen habe ich mir gedacht, ich zeige das durch die Newtonsche Iteration. Hatte dann auch für die Nullstelle: womit ja eigentlich Grenzwert, wie auch konvergenz gezeigt/berechnet ist.

Doch leider wurde die Iteration nicht in der Vorlesung gemacht. Was tue ich nun ^^
DJ Ango Auf diesen Beitrag antworten »

ich sitze vor derselben Aufgabe. Mein Ansatz war ebenfalls das Monotonieprinzip.

Dieses besagt ja, dass jede monoton beschränkte Folge konvergiert. Wenn man also Monotonie und Beschränktheit nachweisen kann, ist auch nachgewiesen dass sie konvergiert.

nun gilt ja

(i) Monotonie:

wachsend wenn und fallend wenn

(ii) Beschränktheit:

besitzt ein Infimum s und ein Supremum S sodass gilt



soweit habe ich die Theorie verstanden, ich hoffe das stimmt so. Wie man es nun gerade bei so einer rekursiven Folge anwendet, weiß ich leider nicht.
Calahan Auf diesen Beitrag antworten »

Hier wurde diese Frage bereits gestellt.


Zeige zunächst (z.B. mit Bernoullischer Ungleichung):




Nutze dann diese untere Schranke, um die Monotonie



mittels einer geeigneten Abschätzung zu beweisen.




Es könnte sich übrigens als günstig erweisen die Rekursionsformel mal etwas umzustellen. Etwa so:

loop_ Auf diesen Beitrag antworten »

Müsste man nicht beweisen:

HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
Einwurf
Die Zahlenfolge lautet hier , nicht . unglücklich

Normalerweise muss man ja nicht so "kleinlich" sein, von wegen unterer und oberer Indizes. Aber da bei dieser Aufgabe hier auch in hohen Maß Potenzen dieser x-Werte von Belang sind, sollte man sich schon an die Vorgaben halten, sonst besteht erhebliche Verwechslungsgefahr. Augenzwinkern
loop_ Auf diesen Beitrag antworten »

Woooah, wie habe ich die denn nun in die exponenten gehauen o.O?








Hmm also das müsste man doch beweisen um die Aufgabe zu lösen oder?
 
 
Calahan Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wie ich heute früh um 08:10h bereits gepostet habe.
loop_ Auf diesen Beitrag antworten »

Schaffe es nicht mal mit der Bernoulli Gleichung weiter zukommen. Kriege es nicht auf die selbe Form. So ein Mist. Das kann doch nicht sein.

Was wäre denn, wenn ich das x_n auf die linke Seite bringe, sodass dort steht

x_n+1 - x_n = .....

und nun schaue ich mal für die Fälle

x_n+1 - x_n < 0

x_n+1 - x_n > 0

x_n+1 - x_n = 0
loop_ Auf diesen Beitrag antworten »

So habs geschafft. Monotonie ist bewiesen. Problem ist gerade, dass ich bei der Grenzwerterrechnung nicht weiter komme. Mittels Interation klappts, doch mit Infinum klappts leider nicht. Jemand einen Tipp?
Dinse Auf diesen Beitrag antworten »

kannst du mir sagen , wie du die Monotonie bewiesen hast? Hänge da grade Augenzwinkern
loop_ Auf diesen Beitrag antworten »

mit der bernoulli ungleichung
chi Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz berweisen und Grenzwert berechnen
Konvergenz gezeigt, nun zum Grenzwert:
a ist eine untere Schranke, ist aber a auch die Größte untere Schranke?
Wenn ja haben wir den Grenzwert gefunden.
Nun zu erst einmal:

Jetzt schauen wir uns folgendes an:
, also und somit
Nach langem Umrechnen bin ich auf folgendes gekommen:
.
Kann ich somit schließen, dass ? Bin mir nicht 100% sicher
chi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz berweisen und Grenzwert berechnen
Oder ist ??
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