einfache Gruppen

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Kojak Auf diesen Beitrag antworten »
einfache Gruppen
Meine Frage:
Hallo ihr Lieben.
Warum ist eine einfache Gruppe mit |G|<60 immer eine zyklische Gruppe mit Primzahlordnung?

Meine Ideen:
Das einzige was mir dazu einfällt, dass es immer mehr als eine p Sylow Gruppe geben muss.
Hoffe mir kann jemand weiterhelfen.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: einfache Gruppen
Hallo Kojak,

Du kannst sie einfach der Reihe nach durchgehen. Bei jeder nichtprimen Ordnung wirst Du mithilfe des Sylowsatzes einen Normalteiler finden.

Gruß,
Reksilat.
Kojak Auf diesen Beitrag antworten »

Dank Dir Reksilat.

Aber du musst schon zugeben, dass das keine sehr schöne Variante ist.
Außerdem häng ich sowieso schon länger vor dem Problem, dass G nicht einfach ist, wenn |G|=36. Oder z.B. wenn |G|=12. Ok wenn man weiß, dass es nur 5 Gruppen dieser Ordnung gibt, wobei 4 von diesen ein Element der Ordnung 6 hat, somit Normalteiler existieren, dann ist das schon cool. Der andere Kanditat wäre ja denn die A_4, die ja zum Glück ein Normalteiler der Ordnung 4 hat. Aber woher weiß man das jetzt so genau? Mit Sylow findet man das ja nicht immer raus.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin mir sicher, dass Du keinen eleganteren Beweis finden wirst, als die einzelnen Möglichkeiten durchzukauen. Nur die Ordnung einer Gruppe zu kennen, ist als Voraussetzung nämlich ziemlich schwach.
Allerdings kann man ja viele Fällen mit einem einzelnen Argument erschlagen.

Bei |G|=12 geht das auch mit dem Sylowsatz ganz gut. Wenn es vier Sylow-3-Untergruppen gäbe, so gäbe es acht Elemente der Ordnung 3. Dann blieben für die 2-Sylowgruppen aber nicht mehr viele Elemente übrig. Augenzwinkern

Eine weitere Idee die man verwenden kann ist, sich eine Untergruppe mit möglicht kleinem Index anzuschauen. Dann operiert G per Rechtsmultiplikation auf den Nebenklassen dieser Untergruppe und der Kern dieser Operation ist natürlich ein Normalteiler. Ist die Gruppe einfach, so muss dieser Kern trivial sein und somit ist dann G eine treue Permutationsgruppe auf den Nebenklassen.
Wenn Du also eine einfache Gruppe mit einer Untergruppe vom Index n hast, so muss sich diese in die einbetten lassen.

Damit wird man auch die 36 los.

Gruß,
Reksilat.
Kojak Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Reksilat,
vielen Dank für die Idee mit den G Mengen. Dann geht das mit der Gruppe der Ordnung 36 echt schnell.
Bei den andern Sachen muss ich mir dann wohl die Mühe machen, dass durchzurechnen. traurig

LG.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich ist es ein Klassiker, irgendwann mal durchzurechnen, dass Gruppen mit Ordnung kleiner als 60 auflösbar sind. (Und was anderes macht man hier ja auch nicht.)

Und letztlich müsstest Du jetzt ja genug Argumente haben, um jede Gruppe abzuhandeln.
smile

Gruß,
Reksilat.
 
 
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