Unterräume von R3 ?

25.11.2011, 14:25

m4libu

Unterräume von R3 ?

Meine Frage:
also ich weiß dass es viele Threads zu Vektorunterraumbestimmung ginbt aber ich habe trotzdem probleme dabei.
die Aufgabenstellung ist ob M={(a,b,c)| a.b=0} Unterraum von R³ ist.

Meine Ideen:
Ich weiß dass ich im Prinzip nur zeigen muss dass die Menge bzgl. der Addition und der Multiplikation abgeschlossen ist. Also wenn ich ein Gegenbeispiel finde ist es keiner, aber wie zeige ich denn bitte dass das für ALLE Elemente abgeschlossen ist, vor allem auch wie zeige ich das FORMAL ?
ich dachte mir dass das doch bzgl. Addition abgeschlossen ist, weil (a,b,c)+(d,e,f)=(a+d,b+e,c+f) ist und (a+d,b+e,c+f)\in M ist ... stimmt das?
und bei der Multiplikation mach ich das ja mit einem Skalar, also
\alpha .(a,b,c)=(a.\alpha ,b.\alpha ,c.\alpha )und das wieder \in M ist....aber das kommt mir nicht wirklich richtig vor.

25.11.2011, 14:42

Mulder

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RE: Unterräume von R3 ?

Zitat:

Original von m4libu
die Aufgabenstellung ist ob M={(a,b,c)| a.b=0} Unterraum von R³ ist.

Ich weiß grad nicht, wie "a Punkt b" zu lesen ist. Soll das eine Multiplikation darstellen?

Falls dem so ist, wäre das gleichbedeutend mit "a=0 oder b=0", denn R ist als Körper ja bekanntlich nullteilerfrei.

Zitat:

Original von m4libu
Also wenn ich ein Gegenbeispiel finde ist es keiner, aber wie zeige ich denn bitte dass das für ALLE Elemente abgeschlossen ist, vor allem auch wie zeige ich das FORMAL ?

Indem du die Abgeschlossenheit für zwei beliebige Elemente zeigst (bzw. mit einem beliebigen Element und einem beliebigen Skalar). Im Prnzip also so ähnlich, wie du das schon probiert hast... nur verstehe ich davon im Moment noch nichts, weil ich noch nicht genau weiß, wie M aussieht. Ich bitte da um Klarstellung. Falls es tatsächlich so gemeint ist, wie ich es oben verstanden habe, ist das aber alles falsch, was du da gemacht hast. Du hast da einfach was hingeschrieben, aber da sind ja nirgends Argumente. Warum ist was wieder in M?

25.11.2011, 14:55

sbgstud

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der punkt soll tatsächlich multiplikation darstellen....das hab ich aus dem programm Mathematica

aber wie muss man denn dann argumentieren, um zu sagen dass das (z.B. Produkt mit einem Skalar) dann wieder $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ M ist?

25.11.2011, 15:00

Mulder

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Zitat:

Original von sbgstud
aber wie muss man denn dann argumentieren, um zu sagen dass das (z.B. Produkt mit einem Skalar) dann wieder $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ M ist?

Ist (a,b,c) aus M, dann ist a*b=0. Ist nun k ein Skalar, dann ist k*(a,b,c) = (ka,kb,kc) und ak*bk=k²*a*b=k²*0=0 und damit k*(a,b,c) wieder in M.

Du solltest dir aber eher Sorgen um die Abgeschlossenheit bezüglich Addition machen.

25.11.2011, 15:17

sbgstud

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ich hätte da jetzt so argumentiert:

(a,b,c)+(d,e,f) = (a+d,b+e,c+f) und aus a $\begin{eqnarray*} \vee \end{eqnarray*}$ b=0 folgt:

(d,b+e,c+f) $\begin{eqnarray*} \vee \end{eqnarray*}$ (a+d,e,c+f)
und das heißt doch dann:
d*(b+e)=0
db+de=0 und da analog folgt ae+de=0, also de= -ae komme ich auf
db-ae=0, was wiederum nur der fall ist wenn a UND b 0 sind, also nicht wenn nur a ODER b null sind...und deswegen ist das nicht abgeschlossen

...ich hoffe mal dass ich bei latex jetzt nichts verhaut habe

25.11.2011, 15:26

Mulder

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Also ich komm da nicht so ganz mit. Das ist alles ziemlich wirr.

Zitat:

db-ae=0, was wiederum nur der fall ist wenn a UND b 0 sind, also nicht wenn nur a ODER b null sind...und deswegen ist das nicht abgeschlossen

Warum muss a und b null sein? Was ist, wenn a=0 und d=0? Das Ganze ist in sich nicht schlüssig, finde ich.

Warum nicht einfach als Gegenbeispiel (1,0,0) und (0,1,0) angeben und fertig?

25.11.2011, 15:33

sbgstud

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ja das gegenbeispiel erschlägt das ganze das stimmt xD

25.11.2011, 15:42

julijah.hensen

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Beweis, dass bezüglich der Addition keine Abgeschlossenheit vorliegt:
du nimmst 2 Vektoren aus dem Raum, also $\begin{eqnarray*} v_{1}= \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_{2}= \begin{pmatrix} a' \\ b' \\ c' \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Die beiden addiert und dann die Abbildung müssen dasselbe ergeben wie v1 in die Abbildung plus v2 in die Abbildung. Also:

$\begin{eqnarray*} M(v_{1})+M(v_{2})=a\cdot b+a'\cdot b' \end{eqnarray*}$ ist aber leider nicht das gleiche wie:

$\begin{eqnarray*} M(v_{1}+v_{2})=(a+a')\cdot(b+b')=a \cdot b + a\cdot b' +a'\cdot b + a'\cdot b'. \end{eqnarray*}$

Da ist quasi was zu viel, deswegen liegt der letzte nicht mehr in dem Raum. Wäre meine Lösung. Am Besten findet man dazu ein konkretes Gegenbeispiel mit einfachen Vektoren, aber dazu bin ich grade zu faul... Augenzwinkern

PS.: das ist die formal korrekte Darstellung oder? Ich glaube, du wusstest schon, dass es so geht, aber dann bin ich wenigstens auf der sicheren Seite, so mach ichs immer :P

25.11.2011, 15:43

sbgstud

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wenn ich jetzt aber zb die menge M={(a,b,c)|a^2=b} habe

kann kann ich dann sagen k(a,b,c)=k(a,a^2,c) = (ka,k(a^2),kc)
und gelten muss (ka)^2 = k(a^2) und das ein widerspruch ist?

25.11.2011, 15:51

Mulder

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Zitat:

Original von sbgstud
wenn ich jetzt aber zb die menge M={(a,b,c)|a^2=b} habe

kann kann ich dann sagen k(a,b,c)=k(a,a^2,c) = (ka,k(a^2),kc)
und gelten muss (ka)^2 = k(a^2) und das ein widerspruch ist?

Im Prinzip ja. Oder einfach (1,1,0) und (1,1,0) als Gegenbeispiel.

25.11.2011, 15:54

sbgstud

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ach verdammt Big Laugh

wieso mach ichs mir denn immer so schwer wenns eh immer ein einfach gefundenes gegenbeispiel tut xD

aber danke die bestätigung hab ich jez gebraucht^^....die novemberdepression macht sich bei uns langsam breit

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