Polynom irreduzibel über Q[x]

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Mirilini Auf diesen Beitrag antworten »
Polynom irreduzibel über Q[x]
Meine Frage:
Hallo,
ich soll zeigen, dass f(x)=(x-1)(x-2)*...*(x-n)-1 für n aus N\{0}irreduzibel in Q[x] ist.



Meine Ideen:
meine überlegungen gingen dahin das mit vollständiger induktion zu lösen. Alerdings komm ich da irgendwie nicht weiter:
n --> n+1
(x-1)(x-2)*...*(x-n+1)(x-n)(x-n-1)-1 nur jetzt komm ich nicht weiter, denn ich weiß nicht, wie ich die Induktionsvorraussetzung dass f(x) irreduzibel hier anwenden soll..

wäre dankbar für eine denkanregung
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynom irreduzibel über Q[x]
Hallo Mirilini,

Induktion wird hier nicht so hilfreich sein, da die Polynome einfach nicht viel miteinander zu tun haben.

Schau Dir mal lieber die Werte von f für x=1 bis x=n an. Das sagt Dir schon viel über die entsprechenden Werte von möglichen Faktoren von f in Z[x].
(Denn schließlich ist die Irreduzibilität in Q[x] hier äquivalent zur Irreduzibilität in Z[x])

Gruß,
Reksilat.
 
 
Mirilini Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynom irreduzibel über Q[x]
Hallo, gut dann versuch ich es mal:
Wenn man für x Werte von 1 bis n einsetzt, dann wird immer einer der Faktoren im Produkt 0 also bleibt für f(x) imer nur die -1 über, d.h. f(x)=-1. und diese -1 kann man in IZ nicht weiter zerlegen, da sie eine Einheit ist? und daraus folgt, dass das Polynom irreduziebel in Q ist? oder ist der Schluss falsch?

liebe grüße und vielen dank schon einmal
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Folgerung ist einfach nur "geblufft", woher soll die denn kommen?

Du musst schon noch etwas Arbeit reinstecken.

Ist [latex]f=gh[/latex] mit [latex]g,h \in \mathbb Z[x][/latex], so folgt:

[latex]-1=g(i)h(i)[/latex] für [latex]i=1, \dotsc, n[/latex]

Betrachte nun das Polynom [latex]g+h[/latex]
.
Mirilini Auf diesen Beitrag antworten »

müsste es nicht 1=gh heißen, denn f=g*h-1 ? oder hab ich da was falsch verstanden?

Ich versteh deinen Ansatz nicht so ganz, also ich weiß, dass wenn ich für x werte von 1 bis n einsetzte, ist f(x)=-1. Das heißt, ich soll jetzt versuchen 1 als Produkt von 2 Polynomen zu schreiben, in unseren Fall g ung h. Das wär ja dann 1=g(i)h(i) für i=1,..,n.
Ist das soweit das was du meintest? Ich steh gerad auf dem Sclauch... mit dem Hinweis g+h kann ich leider auch gerad nicht viel anfangen...
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo mirilini,
wenn der tmo nicht da ist, werde ich dir etwas weiterhelfen. Wenn man 2 polynome
g und h miteinander multipliziert -1 ergeben, und die polynome nur ganzzahlige werte
annehmen können, was bedeutet das dann für g und h ? Und was passiert, wenn man
dann g und h addiert ? Und dann überleg mal weiter...
gruss ollie3
Mirilini Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo ollie3,
wenn g*h=-1 ist, dann folgt daraus, dass entweder g=1 ist und h=-1 oder h=1 und g=-1. und wenn ich nun g+h rechne ist das ergebnis 0. Das ist mir klar.
meine Frage dies bezüglich ist, warum muss g*h =-1 sein, denn mein polynom dass ich auf irreduzibilität prüfen soll, lautet ja (x-1)(x-2)*...*(x-n)-1.
gehe ich da richtig in der Annahme dass g*h=(x-1)(x-2)*...*(x-n)sein soll? und ich das Polynom auf Nullstellen hin prüfe wenn g*h=1 sein soll?
wenn nicht, dann habe ich den Ansatz von tmo nicht ganz verstanden.

gruss mirilini
Mirilini Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht würde es mir weiter helfen, wenn mir jemand noch mal erklären könnte, wie ich überhaupt an die Aufgabe rangehen soll, da meine Überlegungen bzgl. vollständiger Induktion wohl nicht sonderlich zielführend waren und ich den Ansatz von tmo nicht ganz verstehe, da er mir aus der Lift ergriffen vorkommt und ich ihn nicht in bezug mit meiner Aufgabe bringen kann.
wäre sehr nett

liebe grüße mirilini
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo mirilini,
sorry, das ich mich erst jetzt melde.
Der ansatz von tmo hat den sinn, das man die annahme, das man f als ein produkt von 2 "kleineren" polynomen g und h schreiben kann, zu einem widerspruch führt. Erstmal muss ja dann die summe der grade von g und h
gleich n sein. Und wenn man dann g und h addiert, muss dass ergebnispolynom
ja einen grad kleiner als n haben. Und kann ein polynom mit grad kleiner als n
denn n nullstellen haben? Das ist der trick bei diesem beweis.
gruss ollie3
Mirilini Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo olli 3,
ich werd mich heut nachmittag noch mal ran setzten. Ich hatte gestern nicht viel zeit.
Schonmal danke für die erläuterungen.

gruss mirilini
Mirilini Auf diesen Beitrag antworten »

Also so weit meine Ergebnisse:

Annahme f ist reduzibel
--> f=gh für g,h€ IZ[x]
--> deg(g)+deg(h) = deg(f)
--> deg(g)+deg(h)=n
--> deg(g)+deg(h) < n

soweit so gut, das ist das was du geschrieben hast. Nun noch eine Frage, wie kommt tmo darauf, dass gh=-1 ist ?

gruss mirilini
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo mirilini,
wir hatten ja für den beweis angenommen, das f=g*h ist, und f nimmt für die
zahlen n=1,2,..,n den wert -1 an.
gruss ollie3
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo mirilini,
habe mir deine gleichungen nochmal angeguckt, die letzte zeile stimmt so nicht, man müsste sagen deg(g+h)<n.
Ich mache am bestem mal ein beispiel; wenn man ein polynom 3.grades mit einem polynom 2. grades multipliziert,
erhält man ein polynom 5. grades. Wenn man dagegen ein polynom 3.grades mit einem polynom 2.grades addiert,
hat das ergebnispolynom nur 3 grade. Und ein polynom 3.grades kann nicht 5 nullstellen haben.
Das ist der trick, mit dem dieser beweis funktioniert.
gruss ollie3
Mirilini Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann nochmal smile

Annahme f ist reduzibel
--> f=gh für g,h€ IZ[x]
--> deg(g)+deg(h) = deg(f)
--> deg(g)+deg(h)=n
--> deg(g+h) < n

Für n€[1..n] ist f(n)=-1
daraus folgt das g(n)*h(n)=-1 , das heißt, dass h(n)=1 und g(n)=-1 oder andersrum.
daraus folgt, dass entweder h=1 und g=-1 oder h=(1-x)*..*(n-x)+1 und
g=(1-x)*..*(n-x)-1. Das h und g jeweils konstant sind fällt weg, da deg(h)+deg(g)=1<n
und das zweite fällt weg, da h und g den grad n haben.

Meine frage, hab ich da jetzt was übersehen, oder möglichkeiten für die polynome g und h vergessen, weil ich hab das "g+h" nicht verwendet.

gruss mirilini und danke für das beispiel
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo mirilini,
also die erste hälfte von dem, was du geschrieben hast war jetzt richtig. Danach hast
du leider die falschen schlüsse daraus gezogen.
Also, es ist richtig, dass g(x) und h(x) für x=1 bis n immer wechselseitig den wert
1 und -1 annehmen. Bildet man jetzt die summe (g+h)(x), so nimmt g+h für alle
x von 1 bis n den wert 0 an, dass heisst das poynom g+h hätte n nullstellen.
Das geht jedoch nicht, weil deg (g+h) eben kleiner als n sein muss, wie wir am anfang
festgestellt haben, und da ist der gewünschte widerspruch. Damit ist der beweis fertig.

gruss ollie3 Wink
Mirilini Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo ollie3,
vielen danksmile
glaub jetzt hab ich es auch ganz verstanden.

gruss mirilini
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