Kleines Variablenrätsel

26.11.2011, 14:54	Maticus	Auf diesen Beitrag antworten »
Kleines Variablenrätsel Warum gilt $\begin{eqnarray} a x^{n+x} > (a+x)^{n} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x < a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x > 1 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a,n,x \in \mathbb N \end{eqnarray}$ (Wobei ich natürlich $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray*}$ ohne 0 meine ! ) ? Die Lösung des Rätsels ist natürlich der Beweis für die Aussage (Ich könnte ja alles mögliche behaupten :P ) Ist nicht allzu schwer zu lösen, aber viel Spaß beim tüfteln
03.10.2023, 16:05	DrummerS	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kleines Variablenrätsel Zum Beispiel a = 12 und n = x = 2 in die Ungleichung eingesetzt ergibt 192 > 196.
11.10.2023, 11:13	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Manchmal dauert es etwas, aber auch dieses Rätsel wurde nach 12 Jahren dann doch noch gelöst - wenn auch nicht im Sinne des Fragestellers. Ob der das noch mitkriegt ist allerdings fraglich.
14.10.2023, 10:32	DrummerS	Auf diesen Beitrag antworten »
Anderen interessierten Hobbyknoblern erspare ich damit möglicherweise wertvolle Zeit beim Versuch eines Beweises
14.10.2023, 16:40	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kleines Variablenrätsel Um einen Ansatz zu liefern, wie man die Aussage zu beweisen/widerlegen kann: Teilt man diese durch $\begin{eqnarray} x^n \end{eqnarray}$ steht dort $\begin{eqnarray} a x^x > \left (1+ \frac a x \right)^n \end{eqnarray}$ und man erkennt, dass 1) Die linke Seite streng monoton wächst mit $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und die rechte streng monoton fällt. 2) Die linke Seite unabhängig von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ist und die rechte streng monoton wächst mit $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . Ohne Einschränkung an $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ , sehen wir dass für $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray}$ die rechte Seite gegen $\begin{eqnarray} + \infty \end{eqnarray}$ divergiert und damit für jedes $\begin{eqnarray} a,x \end{eqnarray}$ die Aussage irgendwann verletzt ist. Wenn wir das mal außen vor lassen, und uns auf 1) konzentrieren, so erkennt man, dass man nur $\begin{eqnarray} x = 2 \end{eqnarray}$ beweisen müsste für die Aussage, und der Rest aus Monotonie folgt. Andersherum wird man für $\begin{eqnarray} x=2 \end{eqnarray}$ am einfachsten Gegenbeispiele finden, z.B. das von DrummerS
15.10.2023, 13:35	DrummerS	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kleines Variablenrätsel Ergänzend zu den Ausführungen von IfindU kommt hier ein weiteres jedoch kompliziertes und unsauberes Beispiel, wie die Aussage widerlegt werden könnte, wenn zusätzlich auch durch $\begin{eqnarray} a \cdot x^{x} \end{eqnarray}$ geteilt wird: $\begin{eqnarray} 1 > \frac{\left(a+x\right)^{n}}{a \cdot x^{n+x}} \end{eqnarray}$ . Die rechte Seite kann anders darstellt werden: $\begin{eqnarray} \frac{\left(a+x\right)^{n}}{a \cdot x^{n+x}} = \frac{a^{n}+...+x^{n}}{a \cdot x^{n+x}} = \frac{a^{n}}{a \cdot x^{n+x}}+... \end{eqnarray}$ Im Einklang mit der Vorgabe x < a könnte für eine Falluntersuchung $\begin{eqnarray} x = a-1 \end{eqnarray}$ gewählt und auf der rechten Seite im dritten Term eingesetzt werden. Des Weiteren könnte man sich spaßeshalber nur auf den ersten Summanden konzentrieren, da die mit "..." dargestellten weiteren Summanden auch positive Werte (wegen z.B. $\begin{eqnarray} a > 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x > 0 \end{eqnarray}$ ; siehe auch Pascalsches Dreieck) aufweisen: $\begin{eqnarray} 1 > \frac{a^{n-1}}{ \left(a-1\right)^{n+a-1}} \end{eqnarray}$ . Umstellen und Wurzelziehen (n-1) ergibt bei praktikabler Vernachlässigung negativer Lösungen: $\begin{eqnarray} \left(a-1\right)^{\frac{a}{n-1}+1} > a \end{eqnarray}$ . Für relativ kleine a im Vergleich zu n ergeben sich Widersprüche.
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