Gleichungssystem lösen

26.11.2011, 17:56

andreboleole

Gleichungssystem lösen

Guten Abend,

ich habe ein Problem beim Lösen von folgendem LGS:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1-i & 0 & 1 \\ 1 & 1-i & 1 \\ -2 & 0 & -1-i \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Eigentlich sollte die Matrix singulär sein, aber irgendwie kriege ich das LGS nicht gelöst.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Habe gerade irgendwie ein Brett vor dem Kopf verwirrt

26.11.2011, 17:58

galoisseinbruder

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Wie willst Du es denn lösen?

26.11.2011, 18:10

mYthos

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Die Matrix ist NICHT singulär, denn ihre Determinante ist ungleich Null (--> Entwicklung nach den Elementen der 2. Spalte). Also existiert hier nur die triviale Lösung.

mY+

EDIT: Rechenfehler meinerseits! Die Determinante ist Null, die Matrix also tatsächlich singulär.

27.11.2011, 11:28

andreboleole

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Also meine ursprüngliche Matrix lautet:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun habe ich die Eigenwerte dieser Matrix berechnet und erhalte:

$\begin{eqnarray*} \lambda _1 =1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda _2 =i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda _3 =-i \end{eqnarray*}$

Jetzt möchte ich die Eigenvektoren bestimmen, bei dem Eigenwert 1 ist das kein Problem, aber bei den komplexen Eigenwerten komme ich nicht weiter.

Ich habe den Ansatz:
(A-\lambda *E)v=0

Und komme so auf das oben gepostete LGS, dass ja eigentlich singulär sein sollte.
Wo liegt nun mein Denkfehler, wenn das LGS nicht singulär ist? Wie erhalte ich die Eigenvektoren zu den komplexen Eigenwerten? verwirrt

Gruß

27.11.2011, 13:08

mathinitus

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Zitat:

Original von mYthos
Die Matrix ist NICHT singulär, denn ihre Determinante ist ungleich Null (--> Entwicklung nach den Elementen der 2. Spalte). Also existiert hier nur die triviale Lösung.

mY+

Also das sehe ich anders. Wir bekommen dann ja:

$\begin{eqnarray*} (1-i)(-1-i)+2=-(1-i)(1+i)+2=-(1+1)+2=0 \end{eqnarray*}$

Habe auch die EW nachgerechnet, da erhalte ich auch die gleichen.

Am besten schreibst du uns mal deine Umformungen. Da muss der Fehler passiert sein.

27.11.2011, 18:13

andreboleole

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Ich habe versucht das LGS mit dem Gauß-Verfahren zu lösen. Das Problem ist, dass ich irgendwie keine zwei gleichen Zeilen erzeugt kriege, ich also nur auf die triviale Lösung komme.

27.11.2011, 18:23

andreboleole

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Okay, jetzt hab ich es. Vielen Dank für euere Hilfe. smile

28.11.2011, 22:36

mYthos

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@mathinitus

Danke für deine Aufmerksamkeit, die Determinante ist tatsächlich (1 - i)(- 2 + 2) = 0 !
Also muss ich mich vordem bei der Auflösung verrechnet haben.

mY+

28.11.2011, 22:44

mathinitus

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Zitat:

Original von mYthos
@mathinitus

Danke für deine Aufmerksamkeit, die Determinante ist tatsächlich (1 - i)(- 2 + 2) = 0 !
Also muss ich mich vordem bei der Auflösung verrechnet haben.

mY+

$\begin{eqnarray*} (1 - i)(- 2 + 2) = 0 \ne 1 =0 ! \end{eqnarray*}$

28.11.2011, 22:48

mYthos

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?? Wie meinen ??

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