Schätzer für Varianz |
26.11.2011, 19:10 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Schätzer für Varianz Zeige: Seien i.i.d. mit . Dann gilt für : (1) (2) , wobei bezeichnen soll. (3) f.s. für (4) für Meine Ideen: Hallo, ich hänge im Moment noch bei (1) fest. Und zwar handelt es sich bei um eine quadratische Form (das wurde uns verraten), wobei mit gegeben ist durch . Nun hatten wir in der Vorlesung allgemein, was der Erwartungswert einer quadratischen Form ist, aber ich habe das leider irgendwie versäumt. Kann es sein, daß das so ist: ? Dann käme ich nämlich auf Folgendes: . Dies dann multipliziert mit ergäbe das erwünschte Resultat, nämlich . |
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27.11.2011, 11:38 | Black | Auf diesen Beitrag antworten » |
Für den Erwartungswert einer quadratischen Form gilt allgemein. wobei Kovarianzmatrix von X ist. Nun fällt hier in diesem Fall der hintere Summand raus, aber das gilt es zu begründen. Habt ihr in der Vorlesung mit orthogonalen Projektionen gearbeitet? Dann könnte man das nämlich recht schnell zeigen |
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27.11.2011, 11:51 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Was ist denn hier die Kovarianzmatrix von X? Ich kenne den Begriff leider nicht. Und was ist ? Wir hatten in der Vorlesung dazu nur Folgendes: Seien i.i.d. mit und für . Seien und eine symmetrische Matrix. Dann gilt für : Ich werde daraus nicht schlau und verstehe nämlich nicht, wie das mit der allgemeinen Formel (die Du gepostet hast) zusammenpasst. |
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27.11.2011, 12:58 | Black | Auf diesen Beitrag antworten » |
Okay, wenn ihr die allgemeine Formel nicht behandelt habt rechnest du natürlich besser mit der aus eurer Vorlesung. Um ihn anzuwenden musst du dir also noch ZV bauen die Erwartungswert 0 haben, aber das dürfte nicht so schwer sein. |
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27.11.2011, 13:00 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Um ehrlich zu sein: Doch, das fällt mir gerade sehr schwer. Wie würde man das anfangen? |
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27.11.2011, 13:07 | Black | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wie kannst du Xi aus einer ZV mit Erwartungswert 0 und einer konstanten Zahl zusammenbasteln? |
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27.11.2011, 13:16 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vielleicht: , wobei die i.i.d. mit ? |
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27.11.2011, 13:21 | Black | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nicht ganz, du brauchst ja ZV mit Erwartungswert 0, aber die Y haben jetzt ja wieder Erwartungswert Musst eigentlich nur die Xi mit den Yi vertauschen |
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27.11.2011, 13:23 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Weiß ich wirklich gerade nicht. |
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27.11.2011, 13:27 | Black | Auf diesen Beitrag antworten » |
Naja es ist gerade , wobei mit und Setz das einfach mal in die Formel für den Schätzer ein |
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27.11.2011, 13:34 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Dann habe ich |
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27.11.2011, 14:01 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Da kommt dann heraus? Oder? |
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27.11.2011, 14:31 | Black | Auf diesen Beitrag antworten » |
Genau, und jetzt kannst du den Satz anwenden |
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27.11.2011, 16:00 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Dann müsste ich ja bei (2) auch auf den Satz anwenden können? Da hatten wir, wie gesagt, daß dann wäre. Ich versuche das komponentenweise auszurechnen: (Mit haben wir benannt.) , wobei ja wieder hier mit sein soll. Damit komme ich insgesamt auf: Wenn ich das ausrechne, komme ich auf Das ist aber leider nicht das, was bei (2) herauskommen soll. Sieht jemand, wo ich falsch gerechnet habe?? |
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27.11.2011, 17:00 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich habe es schon herausgefunden: Verrechnet habe ich mich gar nicht, sondern den Faktor vergessen. |
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27.11.2011, 23:16 | Black | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja genau, wobei man sich bei tr(AA) noch etwas Rechenarbeit sparen kann, wenn man Symmetrie und Idempotenz ausnutzt, dann gilt nämlich |
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28.11.2011, 00:18 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Dankeschön. Morgen werde ich mich mal an (3) und (4) wagen und evtl. hier fragen. |
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28.11.2011, 11:42 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Leider komme ich bei (3) nicht klar. Ich soll zeigen, daß fast sicher für . Ich könnte mir vorstellen, daß man irgendwie mit dem starken Gesetz der großen Zahlen argumentieren muss und vllt. ausnutzen muss, daß das arithmetische Mittel Schätzer für den Erwartungswert ist? Edit: In einer vorherigen Aufgabe hatte ich nämlich mal gezeigt, daß fast sicher für , wobei . Vielleicht kann man das irgendwie verwenden? Edit 2: Eine spontante Idee, die vermutlich total falsch ist, wäre: und dies geht doch jetzt für fast sicher gegen , weil das arithmetische Mittel fast sicher gegen den Erwartungswert konvergiert? (Und für diesen letzten Ausdruck weiß man, daß er fast sicher gegen konvergiert.) Nur eine Idee. |
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