Schätzer für Varianz

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Schätzer für Varianz
Meine Frage:
Zeige:

Seien i.i.d. mit . Dann gilt für

:

(1)

(2) , wobei bezeichnen soll.

(3) f.s. für

(4) für

Meine Ideen:
Hallo, ich hänge im Moment noch bei (1) fest.

Und zwar handelt es sich bei um eine quadratische Form (das wurde uns verraten), wobei

mit

gegeben ist durch

.



Nun hatten wir in der Vorlesung allgemein, was der Erwartungswert einer quadratischen Form ist, aber ich habe das leider irgendwie versäumt.

Kann es sein, daß das so ist:

?


Dann käme ich nämlich auf Folgendes:

.

Dies dann multipliziert mit ergäbe das erwünschte Resultat, nämlich .
Black Auf diesen Beitrag antworten »

Für den Erwartungswert einer quadratischen Form gilt allgemein.
wobei Kovarianzmatrix von X ist.
Nun fällt hier in diesem Fall der hintere Summand raus, aber das gilt es zu begründen.

Habt ihr in der Vorlesung mit orthogonalen Projektionen gearbeitet? Dann könnte man das nämlich recht schnell zeigen
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn hier die Kovarianzmatrix von X? Ich kenne den Begriff leider nicht.

Und was ist ?



Wir hatten in der Vorlesung dazu nur Folgendes:

Seien i.i.d. mit und für .

Seien und eine symmetrische Matrix. Dann gilt für :







Ich werde daraus nicht schlau und verstehe nämlich nicht, wie das mit der allgemeinen Formel (die Du gepostet hast) zusammenpasst.
Black Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, wenn ihr die allgemeine Formel nicht behandelt habt rechnest du natürlich besser mit der aus eurer Vorlesung.
Um ihn anzuwenden musst du dir also noch ZV bauen die Erwartungswert 0 haben, aber das dürfte nicht so schwer sein.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Um ehrlich zu sein: Doch, das fällt mir gerade sehr schwer.

Wie würde man das anfangen?
Black Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kannst du Xi aus einer ZV mit Erwartungswert 0 und einer konstanten Zahl zusammenbasteln?
 
 
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht:

, wobei die i.i.d. mit ?
Black Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht ganz, du brauchst ja ZV mit Erwartungswert 0, aber die Y haben jetzt ja wieder Erwartungswert

Musst eigentlich nur die Xi mit den Yi vertauschen
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Weiß ich wirklich gerade nicht.

unglücklich
Black Auf diesen Beitrag antworten »

Naja es ist gerade ,
wobei mit und

Setz das einfach mal in die Formel für den Schätzer ein
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann habe ich

Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Da kommt dann

heraus? Oder?
Black Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, und jetzt kannst du den Satz anwenden
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann müsste ich ja bei (2) auch auf den Satz anwenden können?

Da hatten wir, wie gesagt, daß dann

wäre.


Ich versuche das komponentenweise auszurechnen:





(Mit haben wir benannt.)


, wobei ja wieder hier mit sein soll.


Damit komme ich insgesamt auf:





Wenn ich das ausrechne, komme ich auf




Das ist aber leider nicht das, was bei (2) herauskommen soll.

Sieht jemand, wo ich falsch gerechnet habe??
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es schon herausgefunden:

Verrechnet habe ich mich gar nicht, sondern den Faktor vergessen.
Black Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau, wobei man sich bei tr(AA) noch etwas Rechenarbeit sparen kann, wenn man Symmetrie und Idempotenz ausnutzt, dann gilt nämlich
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön.

Morgen werde ich mich mal an (3) und (4) wagen und evtl. hier fragen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Leider komme ich bei (3) nicht klar.

Ich soll zeigen, daß

fast sicher für .



Ich könnte mir vorstellen, daß man irgendwie mit dem starken Gesetz der großen Zahlen argumentieren muss und vllt. ausnutzen muss, daß das arithmetische Mittel Schätzer für den Erwartungswert ist?


Edit:

In einer vorherigen Aufgabe hatte ich nämlich mal gezeigt, daß

fast sicher für , wobei

.


Vielleicht kann man das irgendwie verwenden?


Edit 2:

Eine spontante Idee, die vermutlich total falsch ist, wäre:

und dies geht doch jetzt für fast sicher gegen

, weil das arithmetische Mittel fast sicher gegen den Erwartungswert konvergiert?

(Und für diesen letzten Ausdruck weiß man, daß er fast sicher gegen konvergiert.)


Nur eine Idee. Big Laugh
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