Interpolation Fehlerabschätzung

27.11.2011, 16:14

El Rey

Interpolation Fehlerabschätzung

Meine Frage:
hallo liebes forum Augenzwinkern

ich steh vor folgender aufgabe und komme nich so recht weiter

ich habe eine funktion $\begin{eqnarray*} f: [0,\pi ] -> \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=\int_0^x \! \sin^2(t) \, dt \end{eqnarray*}$

Zu dieser Funktion erstelle man eine Wertetabelle. Zur Ermittlung eines Näherungswertes für $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ wird dann jeweils ein geeignetes Lagrangepolynom $\begin{eqnarray*} p_3 \in P \end{eqnarray*}$ mit stützstellen aus der wertetabelle berechnet und in x ausgewertet.

Wie viele äquidistante Stützstellen sind notwendig damit der Interpolationsfehler höchstens $\begin{eqnarray*} 3\cdot 10^{-9} \end{eqnarray*}$ beträgt ??

Meine Ideen:
ich habe zuerst das integral ausgerechnet dann bekommt man

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{2} (x-\sin(x) \cos(x) ) \end{eqnarray*}$

dann hab ich mir die fehlerabschätzung rausgesucht

$\begin{eqnarray*} f(x)-p(x)= \frac{1}{(n+1)!} f^{(n+1)}(\xi_x ) \prod\limits_{j=0}^n (x-x_j) \end{eqnarray*}$

man kann jetzt $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ setzen und dann bekommt die formel etwas mehr form dann kann man auch sofort ein setzen dass $\begin{eqnarray*} \frac{d^4f(x)}{dx^4} = -4\sin(2x) \end{eqnarray*}$ dann erhält man

$\begin{eqnarray*} f(x)-p(x)=-\frac{1}{6}\sin(2\xi ) (x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) \end{eqnarray*}$

aber wie mach ich jez weiter ??

was wählt man als $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ ???

kann mir da wer helfen Augenzwinkern

28.11.2011, 01:23

tigerbine

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RE: Interpolation Fehlerabschätzung
Sieht die Funktion wirklich so $\begin{eqnarray*} f(x)=\int_0^x \! \sin^2(x) \, dx \end{eqnarray*}$ aus oder eher $\begin{eqnarray*} f(x)=\int_0^x \! \sin^2(t) \, dt \end{eqnarray*}$ ?

Die exakte Fehlerformel hat das Problem, dass man $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ ja nicht kennt, bringt dich so nicht weiter. Da musst du erst mal gröber abschätzen. Der Wertebereich des Sinus ist hier ja recht angenehm.

28.11.2011, 23:16

El Rey

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ja deine funktion mit dem t is richtig das macht aber an und für sich kaum en unterschied

man kann jez also abschätzen das $\begin{eqnarray*} \sin(2\xi ) \leq 1 \end{eqnarray*}$

das kann man nun in die fehlerformel einsetzen und dann bekommt man

$\begin{eqnarray*} f(x)-p(x)\leq -\frac{1}{6} (x-x_o)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) \end{eqnarray*}$

aber wie kann ich jez die frage beantworten ??

wie muss ich weiter machen ??

28.11.2011, 23:41

tigerbine

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Warum kann man nicht eine Aufgabe erst mal korrekt einstellen? Sowas sollte man nicht mit einem "aber" begründen wollen.

Theorie
[WS] Polynominterpolation - Theorie

Beispiele mit Fehlerabschätzungen
[Aufgabensammlung] Fragen & Antworten 1

28.11.2011, 23:51

El Rey

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wie kann man das denn nun weiter abschätzen ??

soll man nun einfach i-welche stützstellen aus dem definitionsbereich wählen ??

29.11.2011, 00:01

tigerbine

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Auf dem Niveau habe ich keine Lust mich zu unterhalten. Hast du dir mal ein Rechenbeispiel angesehen, wohl kaum. Augenzwinkern

Ferner liest du immer noch nicht gründlich genug deine Aufgabenstellung.

Zitat:

soll man nun einfach i-welche stützstellen aus dem definitionsbereich wählen ??

Zitat:

Wie viele äquidistante Stützstellen sind notwendig damit der Interpolationsfehler höchstens $\begin{eqnarray*} 3\cdot 10^{-9} \end{eqnarray*}$ beträgt ??

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