Neupunkt durch 2 Winkelmessungen

27.11.2011, 20:09

Dopap

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Neupunkt durch 2 Winkelmessungen

Erdvermesser erstellen die lokalen kartesischen Koordinaten für Neupunkte ( neue Punkte ) durch Triangulation schon bekannter Punkte. Dazu gibt es bekannte Verfahren, aber auch:

Ein Neupunkt wird dadurch bestimmt, dass man 2 Winkel zu 3 Altpunkten ( bekannten Punkten ) bestimmt.
Die Messgenauigkeit ist Maximal, wenn der Neupunkt sich innerhalb des Dreiecks der Altpunkte befindet.

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit seien die Altpunkte O(0|0) A(a|0) und B(b1|b2).
( links herum gesehen )

Vom Neupunkt $\begin{eqnarray*} M(m_1|m_2) \end{eqnarray*}$ werden die Winkel OMA = $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und AMB = $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ gemessen.

Der Dritte Winkel BMO = $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ist = 360- $\begin{eqnarray*} \alpha-\beta \end{eqnarray*}$

die Wahl der Winkel in der Rechnung ist demnach frei.

Schlage $\begin{eqnarray*} \overline {MO}=r_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline {MA}=r_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline {MB}=r_2 \end{eqnarray*}$ vor. Sowie

Für die Dreiecksseiten $\begin{eqnarray*} \overline {AB}= p \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} \overline {BO}=q \end{eqnarray*}$ vor.

$\begin{eqnarray*} \overline{ OA} = a \end{eqnarray*}$ liegt bereits fest.

Wie berechne ich die Koordinaten $\begin{eqnarray*} m_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m_2 \end{eqnarray*}$ des Neupunktes M ?
---------------------------------------

Wie ich auch mit den Gleichungen "spiele", ist immer eine Variable zuviel, oder eine Gleichung zuwenig vorhanden.

28.11.2011, 00:42

riwe

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RE: Neupunkt durch 2 Winkelmessungen
als schnittpunkt der beiden faßkreise hast du eine hübsche quadratische gleichung zu lösen Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.11.2011, 00:55

Dopap

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@riwe: sei nicht so sparsam, zumindest ein Bilderl mit den Fasskreisen müsste doch drin sein, von denen ich noch nie was gehört habe.

28.11.2011, 01:16

riwe

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zu befehl

Augenzwinkern

28.11.2011, 08:21

Packo

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riwe,
hast du die Aufgabe überhaupt verstanden?
Die Strecke AM2 ist doch nicht r2 !

28.11.2011, 11:46

riwe

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Zitat:

Original von Packo
riwe,
hast du die Aufgabe überhaupt verstanden?
Die Strecke AM2 ist doch nicht r2 !

was soll dieser unfug geschockt

geschockt

offensichtlich verstehst DU nicht, wovon wir hier reden.
ICH kann damit die koordinaten von M ganz einfach berechnen, und die sind gefragt unglücklich

unglücklich

wenn ICH $\begin{eqnarray*} AM_2 \end{eqnarray*}$ in MEINER skizze mit $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ bezeichne,
was hast DU dann daran auszusetzen, male doch deine eigenen bilderl und trage damit PRODUKTIV bei unglücklich

unglücklich

du solltest lesen, worum mich dopap gebeten hat!

@dopap: besser ist es, die faßkreise über OA und OB zu wählen.
damit läßt sich das problemchen LINEAR lösen Augenzwinkern

Augenzwinkern

mit den mittelpunkten der beiden faßkreise $\begin{eqnarray*} M_{OA}(m_1/n_1)\wedge M_{OB}(m_2/n_2) \end{eqnarray*}$ hat man

$\begin{eqnarray*} x=\frac{2(m_1+m\cdot n_1)}{1+m^2} \wedge y=mx \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m=\frac{m_1-m_2}{n_2-n_1} \end{eqnarray*}$

die mittelpunkte der faßkreise sind nicht allzu schwer zu bestimmen, die radien braucht man netterweise gar nicht

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28.11.2011, 15:27

Dopap

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gar nicht so einfach als Fragesteller!

bevor ich mich noch totrechne :

1.) x und y sind die Koordinaten der Lösung M(x,y) ?
2.) entstammt die Lösung der Rechnung mit Fasskreis $\begin{eqnarray*} M_{AB} \end{eqnarray*}$ oder ist das die ( lineare) Lösung mit dem vorgeschlagenen Fasskreis $\begin{eqnarray*} M_{OB} \end{eqnarray*}$ ?

28.11.2011, 15:46

riwe

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x und y sind die koordinaten des gesuchten punktes M
(unter der voraussetzung, dass M wie von dir" gefordet" im 3eck liegt).

die "lineare" lösung resultiert aus dem schnitt der beiden faßkreise über OA und OB.
dazu mußt du zuerst deren beide mittelpunkte berechnen.
M(OA) geht fast mit hinschauen, M(OB) ist gerinfügig aufwendiger

edit: die "linearität" folgt daraus, dass wir ja einen schnittpunkt bereits kennen Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.11.2011, 18:11

Dopap

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also in Geometrie bist du nicht zu toppen. Freude

Freude

letzte Frage(n) bevor es losgeht:

1.) die Linearität der Lösung hat theoretisch nichts mit der Wahl der Fasskreise zu tun ?
2.) Fasskreis über OB ist nur "leichter" zu rechnen. ?
3.) brauch' ich nun die Radien oder nicht.?

garantiert die letzten nervigen Fragen Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.11.2011, 18:40

riwe

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siehst du richtig, 1 schnittpunkt ist ja immer schon bekannt, aber mit O(0/0) sieht man = ich Augenzwinkern

Augenzwinkern

es schneller
die radien braucht man nicht, die heben sich wieder weg (ich habe nur variante "einfach" gerechnet).

da ist nix nervig, aber ob es die letzten fragen sind Augenzwinkern

Augenzwinkern

wir können ja auf jeden fall die ergebnisse vergleichen.

30.11.2011, 22:39

Dopap

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bis man von alleine draufkommt, dass y=ux+v als Lösung die Gerade ( Sekantengerade ) durch die Schnittpunkte beschreibt, das dauert.
Mit einem Schnittpunkt = O(0|0) hab ich's dann endlich auch verstanden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

den Abgleich mit deinem "Programm" nehm ich mir demnächst zu Brust

Gruss Dopap

30.11.2011, 22:46

riwe

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zum vergleichen smile

smile

02.12.2011, 18:53

riwe

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und dann hätte ich noch eine nette trigonometrische (numerische) lösung zu bieten Augenzwinkern

Augenzwinkern

edit: was man natürlich - ha! Augenzwinkern

Augenzwinkern

- auch ganz einfach geschlossen angeben und lösen kann

04.12.2011, 14:50

Dopap

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Für den Neupunkt fand ich jetzt auch M(6.22|1.92). Die Rechnerei über Fasskreise Sekantengeraden war mir doch zu langatmig. Für den TR habe ich das Problem wieder verallgemeinert, also mit beliebigen A, B und C als Eckpunkten.
Die Dreiecksseiten wie üblich a,b und c.
Die Abstände vom Neupunkt M(x,y) zu den Eckpunkten seien $\begin{eqnarray*} \rho_1 ,\rho_2 , \rho_3. \end{eqnarray*}$ Links herum, beginnend bei MA.

$\begin{eqnarray*} a^2-( \rho_1^2 +\rho_2^2-2\rho_1 \rho_2\cos(\alpha))=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b^2-(\rho_2^2 +\rho_3^2-2\rho_2 \rho_3\cos(\beta))=0 \end{eqnarray*}$

diese formalen Gleichungen ( Cosinussatz ) enthalten in den rhos mehrfach die gesuchten x und y.
So nicht aufzulösen...
Mein Taschenrechner kann aber x und y in mehreren Schritten numerisch so variieren, dass die Gleichungen numerisch Null sind. Weitere Angaben sind nicht notwendig. Das dauert ca. 30 sekunden.
Nun gut, nicht so mathematisch, aber es funktioniert auch als Programm: Eckkoordinaten, die beiden Winkel und Startwert als Parameter und RUN...

------------------ zur letzten post:

anscheinend gehen dir die Möglichkeiten nicht aus Augenzwinkern

Augenzwinkern

Habe deshalb in meiner Umzugskiste nach der kleinen Enzyklopädie gekramt und Folgendes gefunden:
M wird als gewichteter Schwerpunkt berechnet, die Gewichte nach irgendwelchen Verhältnissen bestimmt, wobei ein 4. Parameter = 1 gesetzt wird, sowie Lote von B auf AM und C auf AM.
Insgesamt wenig durchsichtig.
Übrigens, läuft das Problem unter " Rückwärtsschneiden nach 3 Punkten"

04.12.2011, 15:22

riwe

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das kann man dann gleich numerisch mit newton oder in excel mit dem solver lösen, und zwar ganz rustikal:

mit u = MO, v = MA und w =MB
a = AB, b = OB und c = OA gilt mit dem cosinussatz:

$\begin{eqnarray*} f_1(u,v,w)=u^2+v^2-2u\cdot v\cdot cos\alpha -c^2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_2(u,v,w)=v^2+w^2-2v\cdot w\cdot cos\beta -a^2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_3(u,v,w)=u^2+w^2-2u\cdot w\cdot cos\gamma -b^2=0 \end{eqnarray*}$

siehe dazu das bilderl.

wenn dir der analytisch-geometrische weg zu sauer ist, kann ich dir die koordinaten ja schicken Augenzwinkern

Augenzwinkern

die geschlossene trigonometrische lösung heißt:

$\begin{eqnarray*} k=\frac{r_{OA}}{r_{OB}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \epsilon =\sphericalangle{AOM}\quad{ }\wedge\quad{ }\Delta=\sphericalangle{AOB}+\gamma-\pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} tan\epsilon=\frac{k\cdot sin\alpha+sin\Delta}{cos\Delta-k\cdot cos\alpha} \end{eqnarray*}$

den rest erledigt man dann einfach mit dem sinussatz

edit: nicht zu vergessen das leichteste von allem Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} r_{OA}=\frac{|OA|}{2sin\alpha}\wedge r_{OB}=\frac{|OB|}{2sin\gamma} \end{eqnarray*}$

04.12.2011, 15:37

Dopap

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du stellst die ganz rustikale Methode mit Cosinussatz und SOLVER vor, aber gerade das habe ich doch gemacht und in meiner post dargestellt. verwirrt

verwirrt

04.12.2011, 15:51

riwe

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wo ist das problem verwirrt

verwirrt

das ist halt die holzhackermethode, mehr wollte ich dazu nicht sagen

auf keinen fall wollte ich deine meriten schmälern smile

smile

04.12.2011, 19:58

Dopap

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Zitat:

Original von riwe
wo ist das problem verwirrt

verwirrt

Nun, als Fragesteller würde ich schon gerne eine Antwort sehen, etwas so:

klar, das geht so nach Holzfällermethode auch !

sonst kann ( könnte ) der Eindruck entstehen, dass du die post nicht gelesen hast . Augenzwinkern

Augenzwinkern

Deine trigonometrische Lösung werde ich mir gelegentlich an einem Regentag zur Brust nehmen...

Ansonsten besten Dank für deine Geduld und die Breite der Antworten.

Gruss Dopap

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