Basis & Dimension von Unterräumen

27.11.2011, 23:33

martinio

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Basis & Dimension von Unterräumen

Guten Abend,

habe eine neue Aufgabe, an der ich nicht ganz weiterkomme...

Zitat:

Finde für die folgenden Unterräume des $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{4} \end{eqnarray*}$ eine Basis und gib die Dimension der Räume an

$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} w \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix} // x=y , w=z\right\} \end{eqnarray*}$

:

Tja mein Ansatz....

Da ich in einem Buch auf eine ähnliche Aufgabe gestoßen bin, habe ich mir erhofft den Ansatz übetragen zukönnen.... habe dann erstmal dieses hier getan:

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1} \cdot \begin{pmatrix} w \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix} + \lambda_{2} \cdot \begin{pmatrix} z \\ y \\ y \\ z \end{pmatrix} + \lambda_{3} \cdot \begin{pmatrix} w \\ x \\ x \\ w \end{pmatrix}+ \lambda_{4} \cdot \begin{pmatrix} w \\ x \\ y \\ w \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Habe einfach den Ausgangsvekor:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} w \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit den bildungsgesetzen x=y , w=z immer wieder umgeformt um mehrere Vekotren zuerhalten um ein Lgs zuerstellen... aber da liegt nun das problem:

kann man das lgs :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} w & z & w & w \\ x & y & x & x \\ y & y & y & y \\ z & y & w & w \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Kann man das lösen? glaub hab den falschen ansatz...

27.11.2011, 23:50

Mulder

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RE: Basis & Dimension von Unterräumen
Vielleicht am besten aufhören, nach ähnlichen Aufgaben zu suchen und einfach anfangen, etwas über die Aufgabe nachzudenken. Es ist nämlich eigentlich sehr einfach. Offenbar sind ja alle Vektoren dieses Unterraums von der Form

$\begin{eqnarray*} u=\begin{pmatrix} x \\ y \\ y \\ x \end{pmatrix} = x \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + y \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ergo?

Übrigens soll der $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ hier wohl als $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Vektorraum aufgefasst werden, ja? Streng genommen gehört diese Info dazu.

28.11.2011, 00:12

martinio

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RE: Basis & Dimension von Unterräumen
ergo

$\begin{eqnarray*} U = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

werd mir beide tipps merken !

28.11.2011, 00:39

Mulder

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RE: Basis & Dimension von Unterräumen
Das hat ja nun gar keinen Sinn, was du da nun geschrieben hast.

Scheitert es mal wieder an Definitionen? Was ist eine Basis? Was bezeichnet "Dimension"?

28.11.2011, 00:48

martinio

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RE: Basis & Dimension von Unterräumen
Basis

Zitat:

Eine Basis eines Vektorraums V ist eine Teilmenge B von V mit folgenden gleichwertigen Eigenschaften:
Jedes Element von V lässt sich als Linearkombination von Vektoren aus B darstellen und diese Darstellung ist eindeutig.
B ist ein minimales Erzeugendensystem von V, jeder Vektor aus V lässt sich also als Linearkombination aus B darstellen (V ist Lineare Hülle von B) und diese Eigenschaft gilt nicht mehr, wenn ein Element aus B entfernt wird.
B ist eine maximale linear unabhängige Teilmenge von V. Wird also ein weiteres Element aus V zu B hinzugefügt, ist die neue Menge nicht mehr linear unabhängig.
B ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von V.

erstmal dazu...

28.11.2011, 00:54

Mulder

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RE: Basis & Dimension von Unterräumen
Ja gut, dass du mir jetzt Wikipedia via Copy&Paste hier reindonnerst, war jetzt eigentlich nicht gemeint. Ich wollte wissen, ob du die Begriffe verstanden hast? Denn da ich dir die Aufgabe eigentlich schon vollständig gelöst habe, liegt die Frage ja nahe.

Aber nimm dir von mir aus mal eine dieser Definitionen und versuch mal, es auf das anzuwenden, was ich dir schon hingeschrieben habe.

Ich weiß sonst nicht genau, wie ich weiter machen soll, wenn du mir nicht erklärst, wo genau deine Probleme liegen.

Die "Ansätze" in deinem ersten Beitrag sind nämlich allesamt nicht brauchbar, da steckt irgendwie kein System drin.

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28.11.2011, 01:13

martinio

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B ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von V.

das haste ja dann durch...

$\begin{eqnarray*} u=\begin{pmatrix} x \\ y \\ y \\ x \end{pmatrix} = x \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + y \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

aber das kanns doch nciht gewesen sein ???

28.11.2011, 01:23

Mulder

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Zitat:

Original von martinio
das haste ja dann durch...

$\begin{eqnarray*} u=\begin{pmatrix} x \\ y \\ y \\ x \end{pmatrix} = x \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + y \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wodurch? Du hast meine komplette Zeile kopiert. Was ist der Punkt?

Lass dir nicht jeden Gedankengang aus der Nase ziehen. Wie interpretierst du die Zeile? Was wollen wir haben?

28.11.2011, 01:28

martinio

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sry ist schon bisscehn spät & meine motivation lässt arg nach... egal ich raff mich nochmal auf denn irgendwann muss man es eh verstehen...

die beiden bildungsgesetze, dass x=y & w=z sein sollen haben wir ausgenutzt ... quasi stünde dort

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} w \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} w \\ x \\ x \\ w \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . da verstehe ich nicht ganz genau warum du $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ y \\ x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ draus gemacht hast....

zum rest dann dannach.

28.11.2011, 01:34

Mulder

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Also ob die verwendeten Buchstaben nun x,y oder z sind, ist doch total Banane. Denn das sind ja nur beliebige reelle Zahlen.

Entscheidend ist doch nur, dass alle Elemente dieses Unterraums solche Vektoren mit vier Einträgen sind. Der Eintrag in der ersten Komponente muss gleich dem Eintrag in der vierten Komponente sein und der Eintrag in der zweiten Komponente muss gleich dem Eintrag in der dritten Komponente sein.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2\\1 \\ 1\\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

liegt zum Beispiel in diesem Unterraum. Oder auch

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 1000 \\ 1000 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

usw.

Aber sowas wie

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

beispielswese liegt nicht drin. Klar, warum?

Im Übrigen ist nichts dagegen einzuwenden, Schluss zu machen, wenn die Batterien leer sind. Dann macht mal halt morgen weiter. Das Forum hier ist auch morgen noch da.

28.11.2011, 01:43

martinio

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okay mit den variablen habe ich verstanden... daher verstehe ich auch, dass die 1. und 4. zeile gleichsein müssen bzw. die 2. und 3... so habe ichs auch schon vorher gemacht, da die aufgabe auf eine vorherige bezug nimmt smile

smile

nein , jetzt wird durchgehalten!

nun gut weiter geht...

$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} w \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix} // x=y , w=z\right\} \end{eqnarray*}$
ist unser unterraum... in der wiki definition als B bezeichnet... gehen wir mal die eigenschaften durch:

B ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von V. diese scheint mir am einfachsten und ist ja auch für die aufgabe vom größten nutzen...

linear unabhänig bedeutet, dass der nullvektor die einzige "lösung" des erzeugunssystems ist... korriegier mich bitte, ich muss den stoff der letzten woche nachholen wg. eines testates in einem anderen fach

28.11.2011, 01:51

Mulder

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Zitat:

Original von martinio
ich muss den stoff der letzten woche nachholen

Dann tu das bitte, das geht nicht über ein Forum. Deine Vorlesung kann ich nicht ersetzen.

Tja, du hast gesagt "weiter geht's". Gemacht hast du aber jetzt eigentlich gar nichts, außer das, was sowieso schon hier stand, nochmal zusammengefasst.

28.11.2011, 02:06

martinio

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ich hols mit dieser aufgabe nach, da der stoff darauf aufbaut...

Sei U $\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} w \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix} // x=y , w=z\right\} \subseteq \mathbb R ^{4} \end{eqnarray*}$ ist also per Voraussetzung ein Unterraum...
Ist es auch eine Basis: also muss U auch ein linear unabhängiges Erzeugendensystem sein.

Der Beweis:

Der Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} w \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ lässt sich durch die Bildungsgesetzt als $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} w \\ x \\ x \\ w \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ darstellen... bzw. auch als $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} z \\ y \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bzw. wie du sagtest, da die variabeln trival sind , als $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ y \\ x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hauptsache die bildungsgesetze werden eingehalten...

Allerdings hätte ich jetzt dieses hier getan :

$\begin{eqnarray*} \left\{ \lambda_{1} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_{2} \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_{3} \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+ \lambda_{4} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray*}$

damit zeige ich ja, dass sich der Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ als Linearkombination darstellen lässt.

28.11.2011, 02:12

Mulder

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Zitat:

Original von martinio
$\begin{eqnarray*} \left\{ \lambda_{1} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_{2} \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_{3} \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+ \lambda_{4} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = ... \right\} \end{eqnarray*}$

Bloß ist das völliger Unsinn, weil ALLE vier Vektoren gar nicht in dem Unterraum liegen, den wir gerade betrachten. Wie die Elemente in diesem Unterraum aussehen müssen, hatten wir doch gerade geklärt, oder?

Es ist doch gerade der Witz dabei, dass die Elemente der Basis selbst natürlich auch im Unterraum liegen müssen.

Im übrigen soll nicht ganz U die Basis sein. U ist der gesamte Unterraum. Wir suchen eine Teilmenge von U, die eine Basis von U bildet.

28.11.2011, 02:21

martinio

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achsoooo deshalb $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \pi \\ 1000 \\ 1000 \\ \pi \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und weil wir eine Basis suchen ist $\begin{eqnarray*} u=\begin{pmatrix} x \\ y \\ y \\ x \end{pmatrix} = x \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + y \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ das eine mögliche Lösung... da wir in dem fall x an 1. und 4. stelle haben müssen wir x auch auserhalb des vektors als variable stehen haben gleiches gilt für y.... kannst du mir zu der schreibweise noch was erläutern?

28.11.2011, 02:23

martinio

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müsse dann nicht stehen :

$\begin{eqnarray*} u= \left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ y \\ x \end{pmatrix} = x \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + y \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right\} \subseteq U \subseteq \mathbb R ^{4} \end{eqnarray*}$

wg. der teilmengenbeziehung?

28.11.2011, 02:24

Mulder

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Wir brauchen eine Teilmenge von U, die eine Basis von U bildet. Eine Basis besteht aus einem linear unabhängigen Erzeugendensystem. Bildet

$\begin{eqnarray*} B = \left \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \, , \, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right \} \end{eqnarray*}$

eine Basis von U?

28.11.2011, 02:34

martinio

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bitte lach mich nicht aus.... aber die lineare unabhängigkeit muss/kann durch den nullvektor bewiesen werden... somit müssen die beiden vektoren
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ doch die trivale lösung des nullvektors annehmen (können) ?
wo ist das x hin ? wenn das x noch als rechenoperation vor dem vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ stünde dann ja... tut es aber nicht.

28.11.2011, 02:42

Mulder

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sind genau dann linear unabhängig, wenn die Gleichung

$\begin{eqnarray*} x \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + y \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nur die triviale Lösung $\begin{eqnarray*} x=y=0 \end{eqnarray*}$ hat. Das ist zu prüfen.

Und nochmal: Anstelle von x und y hätte ich da auch a und b oder Otto und Heinz hinschreiben können. Wichtig ist nur, dass diese Buchstaben in diesem Moment die Rolle der Skalare des zugrundeliegenden Körpers unseres Vektorraums einnehmen. Die kann man nenne, wie man will. Hauptsache, man kennzeichnet sie auch als das, was sie sein sollen.

Und ich geh nun auch schlafen. Ich kann dir nur nahelegen, sämtliche Begriffe wie Unterraum, Basis, lineare Unabhängigkeit etc. nochmal nachzuarbeiten, weil du erschreckend unsicher bist im Umgang damit.

Nach wie vor weißt du scheinbar immer noch nicht, was genau eine Basis ist. Und auch nicht, wie du eine Basis hinschreiben könntest, wenn du eine finden würdest.

B ist jedenfalls eine Basis. Versuch, das nachzuweisen, dann bist du fertig.

28.11.2011, 02:44

martinio

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ich danke dir für deine gelduld und nehme mir deine ratschläge zu herzen & ja ich bin unsicher

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