ungleichung bei einer harmonischen reihe

28.11.2011, 16:43	chrlan	Auf diesen Beitrag antworten »
ungleichung bei einer harmonischen reihe Meine Frage: Es sei $\begin{eqnarray} n\ge 2 \end{eqnarray}$ eine natürliche Zahl. a) Zeigen Sie die Ungleichung $\begin{eqnarray} \frac 1 2 +\frac 1 3 +...+\frac 1 n\le \log n\le 1 + \frac 1 2 +..+\frac 1 {n-1} \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: ich wollte das per induktion beweisen. der induktionsanfang ist leicht man wählt n=2. haut alles hin. allerding würde beim induktionsschritt logn größer werden als die rechte summe. ich glaube hier ist mit log der ln gemeint.
28.11.2011, 18:12	(g)logbuch	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, log bezeichnet auf jeden Fall den natürlichen Logarithmus. Die Bezeichnung "Ln" habe ich im Studium kaum mehr gesehen, unter "log" verstehe ich, es sei denn es ist explizit anders definiert oder im Kontext offensichtlich anders gemeint, immer denjenigen Logarithmus zur Basis e, nicht 10.
28.11.2011, 18:15	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
@chrlan Man kann die linke und rechte Abschätzung auch einfach als Unter- und Obersumme des Integrals $\begin{eqnarray} \int\limits_1^n \frac{1}{x} ~ \dd x \end{eqnarray}$ deuten.
29.11.2011, 08:42	chrlan	Auf diesen Beitrag antworten »
müsste das nicht auch so gehen: $\begin{eqnarray} \sum_{k=2}^n \frac 1 k \le \log n\le \sum_{k=1}^{n-1} \frac 1 k \end{eqnarray}$ ?
29.11.2011, 08:43	chrlan	Auf diesen Beitrag antworten »
die linke summe wäre somit ja kleiner 1 und die rechte kleiner 2. also müsste logn ja dazwischen liegen. der geht aber gegen unendlich. warum kannn man das nicht so machen?
29.11.2011, 17:13	chrlan	Auf diesen Beitrag antworten »
geht das nicht über die summe? hab ich da irgendwas falsch gemacht?
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29.11.2011, 17:28	chrlan	Auf diesen Beitrag antworten »
oh wie ist mir das denn passiert. ist ja kein produkt, also liegt der grenzwert auch anders. kann man das auch ohne integral machen? also mit summe?
30.11.2011, 23:19	Gast9562	Auf diesen Beitrag antworten »
Macht es hier Sinn den Logarithmus als Folge oder Reihe darzustellen?
01.12.2011, 16:09	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Was spricht denn dagegen nach dem Tipp von HAL 9000 vorzugehen? Damit geht es ganz leicht.
01.12.2011, 17:47	Gast9562	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben aber noch keine Integrale
01.12.2011, 20:17	Thobi	Auf diesen Beitrag antworten »
wie geht das denn mit den integralen? hab sowas noch nie richtig geemacht, kann mir das einer vielleicht erklären?

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