metrischer raum

29.11.2011, 11:30

martinio

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metrischer raum

Morgen,

Habe hier eine Übungsaufgabe bei der ich nicht ganz alle Dinge verstehe, vll. kann mir ja jmd. da bisschen Unterstützung geben.

Aufgabenstellung:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} \left(X,d\right) \end{eqnarray*}$ ein metrischer Raum. Weiter seien $\begin{eqnarray*} M \subseteq X \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} M^{c} :=\left\{x\in X | x {\not\in} M \right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M^{°} \end{eqnarray*}$ die Menge der inneren Punkte von M. Zeigen Sie:

Die Voraussetzung habe ich jetzt so aufgefasst. Es geht um einen metrischen Raum X und die beiden Teilmengen Mc und Mkringel. $\begin{eqnarray*} M^{c} :=\left\{x\in X | x {\not\in} M \right\} \end{eqnarray*}$ ist also das Komplement X ohne M. $\begin{eqnarray*} M^{°} \end{eqnarray*}$ sollen die inneren Punkte von M darstellen.

http://www.myimg.de/?img=zeichnnungmathe1e05fa.png

Jetzt zu Aufgabenstellung:
(i) $\begin{eqnarray*} \bar{\mbox{M}} :=\left\{x\in X | \forall \epsilon > 0: B(x,\epsilon)\cap M\neq \emptyset\right\} \end{eqnarray*}$

Ja und die verstehe ich jetzt nicht , was ist das B ? woher kommt das epsilon? muss ja irgendwas mit dem abstand zutun haben oder?

29.11.2011, 11:38

galoisseinbruder

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$\begin{eqnarray*} B(x, \epsilon) \end{eqnarray*}$ ist der $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ - Ball um den Punkt x,
sprich die Menge aller Punkte deren Abstand zu x kleiner ist als $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$

29.11.2011, 11:46

martinio

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okay und ich soll nun zeigen, dass der $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ - Ball , bzw. dessen Menge, geschnitten mit M $\begin{eqnarray*} \neq \emptyset\ \end{eqnarray*}$ ist ? Puh wie fängt man da denn am besten an?

29.11.2011, 11:55

galoisseinbruder

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Das musst, kannst und sollst Du gar nicht allgemein zeigen. Die Menge auf der rechten Seite enthält alle solchen x für die das gilt.
Die musst die Gleichheit zweier Mengen zeigen, wie macht man das geschickt?
Nützlich könnte hier folgendes sein:
$\begin{eqnarray*} A\subseteq B \end{eqnarray*}$ und B abgeschlossen so gilt auch $\begin{eqnarray*} \bar{A} \subseteq B \end{eqnarray*}$ und eine Charakterisierung von abgeschlossenen Mengen in metrischen Täumen mittels $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ -Bällen

29.11.2011, 12:59

martinio

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gleichheit von mengen eig. per teilmengenbeziehung, also

$\begin{eqnarray*} A \subseteq B \wedge B \subseteq A \Rightarrow A=B \end{eqnarray*}$
also nehm ich mir ein element x aus A und Zeige , dass es auch element aus B ist... und das dann äquivalent für B nach A..

abgesclossene Mengen muss ich mir nochmal anschauen, aber ich verstehe solangsam worums geht.

29.11.2011, 13:01

galoisseinbruder

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Genau das meinte ich.

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29.11.2011, 13:20

martinio

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was mich nur noch n bisschen verwirrt , welche teilmengenbeziehung von welchen mengen muss ich genau nach weisen? ich nehme mal an

da dies z.z. ist
(i) $\begin{eqnarray*} \bar{\mbox{M}} :=\left\{x\in X | \forall \epsilon > 0: B(x,\epsilon)\cap M\neq \emptyset\right\} \end{eqnarray*}$

auch die beiden mengen hier raus, also:

$\begin{eqnarray*} B(x,\epsilon)\cap M \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} B(x,\epsilon)\subseteq M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M \subseteq B(x,\epsilon) \end{eqnarray*}$ ? sry , dass ich so doof frage, aber habe so eine aufgabe noch nie im leben zuvor gesehn...

29.11.2011, 13:36

galoisseinbruder

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Nein. die rechte MENGE ist $\begin{eqnarray*} \left\{x\in X | \forall \epsilon > 0: B(x,\epsilon)\cap M\neq \emptyset\right\} \end{eqnarray*}$
wie ich schonmal geschrieben habe die Menge aller x, so dass es in jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ -Ball um x auch Punkte von M drinliegen.

Wobei mir grade auffällt, was ich wohl unbewusst überlesen hab:
$\begin{eqnarray*} \bar{\mbox{M}} :=\left\{x\in X | \forall \epsilon > 0: B(x,\epsilon)\cap M\neq \emptyset\right\} \end{eqnarray*}$
Wäre ein Definition (wegen dem := ) und damit gäbe es so keine Aufgabe (habe immer = gelesen). Könntest Du nochmal die AUfgabenstellung überprüfen?

29.11.2011, 13:38

martinio

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ach ne hab glaub ich ne bessere idee:

$\begin{eqnarray*} \bar{\mbox{M}} \subseteq ( B(x,\epsilon)\cap M ) \wedge ( B(x,\epsilon)\cap M ) \subseteq \bar{\mbox{M}} \end{eqnarray*}$

29.11.2011, 13:39

martinio

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kleinen moment , ignorier den post davor, haben wohl zeitgleich fornuliert.

29.11.2011, 13:41

martinio

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mein fehler, tut mir leid, habe mich damit auch selbst verwirrt Big Laugh

Big Laugh

Aufgabenstellung: Zeigen sie...
(i) $\begin{eqnarray*} \bar{\mbox{M}} =\left\{x\in X | \forall \epsilon > 0: B(x,\epsilon)\cap M\neq \emptyset\right\} \end{eqnarray*}$

29.11.2011, 13:46

galoisseinbruder

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O.K. dann ändert sich am bisherigen nichts (und Du hast was zum Unterschied von := und = hgelernt Augenzwinkern

Augenzwinkern

). Beweise:
[\latex]M \subseteq =\left\{x\in X | \forall \epsilon > 0: B(x,\epsilon)\cap M\neq \emptyset\right\} [/latex]
sprich: für jedes $\begin{eqnarray*} x \in M\forall \epsilon >0 : B(x,\epsilon)\cap M\neq \emptyset \end{eqnarray*}$ und verwende dann

Zitat:

$\begin{eqnarray*} A\subseteq B \end{eqnarray*}$ und B abgeschlossen

29.11.2011, 16:32

martinio

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jo habs hinbekommen! danke dir ! habe noch eine weiter frage zum thema kompaktheit, darf man bei zwei kompakten teilmengen eines metrischen raumes voraussetzen, dass auch die vereinigung der beiden teilmengen kompakt ist voraussetzen? gibt es da einen satz?

29.11.2011, 16:33

martinio

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darf man voraussetzen, dass die vereinigung zweier kompakter teilmengen eines metrischen raumes auch kompakt ist ?

29.11.2011, 16:38

galoisseinbruder

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Ja, der Beweis ist ein Einzeiler (meinetwegen auch zwei), dementsprechend gibts auch keinen Satz.

29.11.2011, 16:51

martinio

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zur sicherheit nochmal hinschreiben? mein übungsgruppen leiter ist ein fiesling...

müsse ja nur nachweisen, dass $\begin{eqnarray*} A\cup B\subseteq X \end{eqnarray*}$ kompakt ist, was durch die beschränktheit und abgeschlossenheit definiert wird, right ? würde jetzt spontan das mit einer folge machen die gegen einen grenzwert konvergiert.. ansatz ok?

29.11.2011, 16:58

galoisseinbruder

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Nein. In metrischen räumen gilt i.A. nicht:
kompakt genau dann wenn beschränkt und abgeschlossen.
Verwende die allgemeine Def. über Überdeckungen.
Der Ansatz über folgenkompaktheit

Zitat:

würde jetzt spontan das mit einer folge machen die gegen einen grenzwert konvergiert.. ansatz ok?

ist in Ordnung,wenn ihr bereits gezeigt habt, dass in metrischen Räumen kompaktheit und folgenkompaktheit äquivalent sind.

und das zeigt auch dass Dein Übungsgruppenleiter kein Fiesling ist. Er will nur, dass ihr wirklich versteht was ihr tut. meines Erachtens sind Übungsgruppenleiter/Korrektoren die alles mögliche durchgehen lassen auf Dauer deutlich fieser.

29.11.2011, 17:57

martinio

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Zitat:

ist in Ordnung,wenn ihr bereits gezeigt habt, dass in metrischen Räumen kompaktheit und folgenkompaktheit äquivalent sind.

wird im skirpt nicht erwähnt.... deshalb mach ich den beweis lieber auf zwei arten , die sichere variante per Def. über Überdeckung und biete ihm meine Variante noch an.

Definition:

Zitat:

Sei (X,d) ein metrischer Raum. $\begin{eqnarray*} M \subseteq X \end{eqnarray*}$ heißt "kompakt" , wenn jede offene Überdeckung U von M eine endliche Teilüberdeckung enthält.

Was ich nicht genau verstehe ist hier die Definition zur Überdeckung:

Zitat:

Seien (X,d) ein metrischer Raum , $\begin{eqnarray*} \Lambda \end{eqnarray*}$ eine beliebige Indexmenge , $\begin{eqnarray*} U_{\lambda} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \lambda \in \Lambda \end{eqnarray*}$ offene Teilmengen von X und U := $\begin{eqnarray*} \left\{ U_{\Lambda}| \lambda \in \Lambda \right\} \end{eqnarray*}$ .
(i) Dann heißt U "offene Überdeckung von $\begin{eqnarray*} M \subset X \end{eqnarray*}$ " : <=>
$\begin{eqnarray*} \forall x\in M \exists \lambda \in \Lambda : x \in U_{\lambda} \end{eqnarray*}$

(ii) U enthält eine "endliche Teilüberdeckung von M " : <=>
$\begin{eqnarray*} \exists n\in\mathbb N\exists i_{1},...,i_ {n} \in \Lambda : M \subset \bigcup_{j=1}^{n} U_{i j} \end{eqnarray*}$

Können wir das mal Stück für Stück durchgehen?
Was hat es genau mit der Indesxmenge aufsich? Ist diese nun in $\begin{eqnarray*} U_{\lambda} \in \Lambda \end{eqnarray*}$ als Laufindex zufinden?
Ist $\begin{eqnarray*} U_{\lambda} \in \Lambda \end{eqnarray*}$ nun die offene Teilmenge , offen = z.b. für alle Elemente dieser Menge stoßen niemals an den Grenzwert der auserhalb dieser Menge liegt , sie kommen nur beliebig nah an ihn heran?
$\begin{eqnarray*} U := \left\{ U_{\Lambda}| \lambda \in \Lambda \right\} \end{eqnarray*}$ soll was genau ausdrücken?

Erstmal dazu vll. verstehe ich dann den rest schon ganz gut!

29.11.2011, 18:08

galoisseinbruder

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Zitat:

Original von martinio

Was hat es genau mit der Indesxmenge aufsich? Ist diese nun in $\begin{eqnarray*} U_{\lambda} \in \Lambda \end{eqnarray*}$ als Laufindex zufinden?

Lerne zu lesen: es ist $\begin{eqnarray*} \lambda \in \Lambda \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} U_\lambda \in \Lambda \end{eqnarray*}$ (es ist dagegen $\begin{eqnarray*} U_\lambda \in U \end{eqnarray*}$ )

Zitat:

Ist $\begin{eqnarray*} U_{\lambda} \in \color{red}U \end{eqnarray*}$ nun die offene Teilmenge , offen = z.b. für alle Elemente dieser Menge stoßen niemals an den Grenzwert der auserhalb dieser Menge liegt , sie kommen nur beliebig nah an ihn heran?

keine Ahnung was Du damit meinst? Der Grenzwert von was?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} U := \left\{ U_{\Lambda}| \lambda \in \Lambda \right\} \end{eqnarray*}$ soll was genau ausdrücken?

Das U eine Menge von offenen Mengen ist.
Die def. in der Variante wie in Wikipedia ist evtl. etwas anschaulicher.

29.11.2011, 18:26

martinio

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Zitat:

es ist $\begin{eqnarray*} \lambda \in \Lambda \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} U_\lambda \in \Lambda \end{eqnarray*}$ (es ist dagegen $\begin{eqnarray*} U_\lambda \in U \end{eqnarray*}$ )

...

okay verstanden $\begin{eqnarray*} U_{\lambda} \end{eqnarray*}$ bezeichnet also die Elemente der Menge U , bzw. ist eine der Teilmengen der Menge U und U steht für die Menge aller offenen Mengen in X.

dann noch eine erklärende frage: könnte der indes $\begin{eqnarray*} \lambda \in \Lambda \end{eqnarray*}$ auch ein zu einem $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ werden? Also ich mein , dass Lambda steht ja meistens immer als Platzhalter für etwas... oder wird immer nur mit Lambda bezeichnet?

Mit der folge und dem grenzwert , vergessen wir das lieber, ich denke zu folgenlastig Big Laugh

Big Laugh

29.11.2011, 18:32

galoisseinbruder

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Genauso denkst Du bei Indexmengen zu abzählbar Big Laugh

Big Laugh

Es kann sein,dass die indexmenge abzählbar ist und dann gehts, im Allgemeinen nicht.
z.B. ist $\begin{eqnarray*} (]x, x+1[)_{x\in \mathbb{R} } \end{eqnarray*}$ eine offene Überdeckung der reellen Zahlen

29.11.2011, 19:09

martinio

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Listige sache diese abdeckungen verwirrt

verwirrt

aber ich denke mit der zeit wird das klarer ..

okay kommen wir mal zu dem besagten

Zitat:

Einzeiler (meinetwegen auch zwei)

In der besagten Aufgabe habe ich die zwei kompakten Teilmengen A und B von X .

z.z. $\begin{eqnarray*} A \cup B \subseteq X \end{eqnarray*}$ ist kompakt.

Ansatz:
Ich nehme mir eine offene Überdeckung von $\begin{eqnarray*} A \cup B \end{eqnarray*}$ her und überlege mir , wie man nun die Kompaktheit von A bzw. B benutzen kann.

Wie würde man da am besten beginnen?

29.11.2011, 20:27

galoisseinbruder

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Indem man $\begin{eqnarray*} A,B \subset A\cup B \end{eqnarray*}$ ausnutzt um eine endliche Überdeckung von $\begin{eqnarray*} A\cup B \end{eqnarray*}$ zu basteln.

30.11.2011, 11:37

martinio

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Moin,

habe es mal so ausprobiert:

$\begin{eqnarray*} A \subset A\cup B : A\cup B \subset \bigcup _{i\in i} A_{i} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B \subset A\cup B : A\cup B \subset \bigcup _{i\in i} B_{i} \end{eqnarray*}$

z.z : Die Teilmenge AvereniigtB ist kompakt

Zitat:

Ein topologischer Raum X heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung von X eine endliche Teilüberdeckung enthält.

D.h. jede offene Überdeckung von AvereinigtB enthält mindestens eine endliche Teilüberdeckung enthält.

30.11.2011, 17:31

galoisseinbruder

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Du gehst von einer Überdeckung von $\begin{eqnarray*} A\cup B \end{eqnarray*}$ aus und nutzt aus, dass diese auch Überdeckungen von A und B sind.

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