Zerlegung eines Vektors

29.11.2011, 14:23	Vinyl	Auf diesen Beitrag antworten »
Zerlegung eines Vektors Hallo zusammen, ich sitze hier vor einer Aufgabe, bei der ich einfach nicht weiter weiß. Beweise allgemein die eindeutige Zerlegung eines Vektors bez. komplementärer Unterräume, d.h. die Behauptung: Sind U_1;U_1 komplementäre Unterräume eines Vektorraums V $\begin{eqnarray} (U_1\oplus U_2 = V ) \end{eqnarray}$ , so gilt für jedes $\begin{eqnarray} v \in V \end{eqnarray}$ die Darstellung v = u1 + u2 mit eindeutig bestimmten $\begin{eqnarray} u_i \in U_i \end{eqnarray}$ Wie muss ich da jetzt vorgehen. Mir fehlt ehrlich gesagt jeglicher Ansatz. Vinyl
29.11.2011, 14:43	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst hier zwei Sachen zeigen. Einmal die Existenz und einmal die Eindeutigkeit. Ich würde mit der Existenz beginnen. $\begin{eqnarray} U_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} U_2 \end{eqnarray}$ erzeugen den Vektorraum $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ . Dadurch lässt sich jeder Vektor als Linearkombination der beiden aus den UVR konstruieren. Zur Eindeutigkeit. Sei $\begin{eqnarray} v=u_1+u_2 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} v\in V \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u_1\in U_1, u_2\in U_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v=w_1+w_2 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} v\in V \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} w_1\in U_1, w_2\in U_2 \end{eqnarray}$ . Damit sollte du was anfangen können. Ibn Batuta
29.11.2011, 16:24	Vinyl	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort. Ich schau mal wie weit ich damit komme. Melde mich später vielleicht nochmal. Vinyl

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