Durchschnitt Untervektorräumen

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Krümelmonster93 Auf diesen Beitrag antworten »
Durchschnitt Untervektorräumen
Meine Frage:
Hallo!

Ich sitze schon ne Weile an einer Aufgabe und bin inzwischen recht verzweifelt!

Aufgabe ist:

U1:=span{(1,0,2),(0,1,1),(2,-1,3)}
U2:=span{(1,2,3),(2,3,6)}

Seien U1 und U2 UVRe von R³ sein

Ich soll eine Basis der jeweiligen ÚVRe bilden, den Durchschnitt und die jeweiligen Dimensionen.





Meine Ideen:
Als Basis von U1 habe ich {(1,0,2),(0,1,1)}, da (2,-1,3) als linearkombination der anderen beiden Vektoren dargestellt werden kann.
Und als Basis von U2={(1,2,3)}

Dimension von U1 müsste ja dann dim(U1)=2 und von U2 dim(U2)=1

Ich muss sagen, dass ich das mit dem Durchschnitt nicht ganz verstanden habe. Muss ich da einen Vektor, oder mehrere finden, die von U1 und U2 als Linearkombination dargestellt werden können?

Dann wäre zum Beispiel (1,1,3) als Linearkombination von Basis U1 und von Span U2 darstellbar.

Soweit bin ich, keine Ahnung ob das richtig ist und, falls ja, ist dann (1,1,3) ein Vektor aus dem Druchschnitt von U1 und U2?

Und wenn ja, müsste er ja auch eine Basis sein, oder? Und damit die Dimension dim(U1 geschnitten mit U2)=1 sein?

Dann müsste ja dim(U1+U2)=dim(U1)+dim(U2)-dim(U1 geschnitten mit U2)=2 sein?!

Wäre wirklich um jeden Tipp dankbar!!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

U1 ist eine Gerade, U2 eine Ebene. Wenn U1 in der Ebene liegt, liegt auch seine Basis in der Ebene, also gibt es eine Gleichung ax=by+cz mit den von dir gefundenen Basisvektoren x,y,z.

Üblich ist es, den Rang der Matrix zu bestimmen, die die 3 Vektoren enthält. Rang=3: l.u. Rang=2: l.a.
Kmac Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt Untervektorräumen
Hallo, es ist zwar schon etwas her, dass du das Thema angesporchen hast, aber ich muss es nochmal aufgreifen, da ich es ebenfalls nicht 100%verstehe.
Hauptsächlich wird sich meine Frage auf den Durchschnitt beziehen.

Also: U1 und U2 UVRe von R³ sein
U1:=span{(1,0,2),(0,1,1),(2,-1,3)}
U2:=span{(1,2,3),(2,3,6)}

Gesucht sind:
i)Basis von U1 und U2 und die jeweiligen Dimensionen
ii)Durchschnitt von U1 und U2, und die Dimension


zu i)
B(U1)={(1,0,2),(0,1,1)} denn l.u.
B(U2)={(1,2,3),(2,3,6)} denn l.u.

dim(U1)=2
dim(U2)=2

zu ii)
mit der Dimensionsformel bekomme ich eine Idee, was die Dimension meines Durchschnitts sein soll![U] ist das Richtig??
Also: die Dimensionsformel:
dim(U1+U2)=dim U1+ dim U2 - dim(U1 U2)

dim(U1+U2)=3
[denn ich suche aus U1+U2={(1,0,2),(0,1,1),(1,2,3),(2,3,6)} meine Basis und somit l.u. Vektoren]

somit ist nach umstellen der dim-Formel:
dim(U1 U2)=dim U1+ dim U2- dim(U1+U2)
dim(U1 U2)= 2+2-3=1

Soweit müsste alles klar sein (wenn das alles stimmt?)

Nun jetzt zu meiner hauptsächlichen Frage:
Wie erhalte ich jetzt meine "die Basis der Vektoren des Durchschnitts"??? (Aus der Dimensionsformel weiss ich, dass es ein Vektor sein muss)


Nun dann zu dir Elvis:
Ich nehme einfach mal an(??!!oder wieso ist U1 eine Gerade und U2 eine Ebene, es können doch auch beide eine Ebene sein??irgendwie sehe ich das nicht), dass U1 eine Gerade ist und U2 eine Ebene.
Ist mein Schnittpunkt von Ebene und Gerade dann mein U1 U2???
Also quasi: U1 U2={(-1/2,1/2,1/2)}

Eigentlich müsste das ja so sein. Oder?

VIELEN DANK!!!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

@Kmac

1. Du hast recht, U1 und U2 sind Ebenen (haben jeweils die Dimension 2). Die Summe U1+U2 ist der 3-dimensionale Raum und der Durchschnitt D ist also eine Gerade.

Ich hatte mich von Krümelmonster93 verwirren lassen, der fälschlicherweise behauptet hatte dim U1=2, dim U2=1 . Und dann hatte ich auch noch die Indizes verwechselt.

2. Wie bekommen wir jetzt eine Basis des Durchschnitts D ? Für gilt .
Das ist ein homogenes LGS in den Variablen .
Kmac Auf diesen Beitrag antworten »

@Elvis:

Also danke, dass du das Thema nochmal aufgegriffen hast!smile

Dann habe ich jetzt auch verstanden, wie man den Durchschnitt berechnet.

Für alle anderen hier die richtige Lösung von Basis(U1 U2) =<(1,1,3)>

ciao, kmac
JuniorMathematiker Auf diesen Beitrag antworten »

das verstehe ich jetzt nicht... wie kommt man auf 1,1,3??

kannst du mir das nochmal erklären? alles andere ist ja verständlich. smile

danke schon mal im voraus!
 
 
Kmac Auf diesen Beitrag antworten »

mit den Basisvektoren

B(U1)={(1,0,2),(0,1,1)}
B(U2)={(1,2,3),(2,3,6)}

erstelle ich ein LGS.

(1,0,2)*a+(0,1,1)*b=z=(1,2,3)*c+(2,3,6)*d

jetzt auf eine Seite bringen. Matrix erstellen. Diese in Zeilenstufenfrom bringen. Dann erhält man a,b,c,d. a,b,c,d in LGS einsetzen. So erhält man z.

z ist Element (U1 U2). Denn z ist Element U1 und z ist Element U2.

Verstanden JuniorMathematiker?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Der Ansatz war gut Augenzwinkern , das Ergebnis ist richtig Freude .
Im nachhinein sieht auch der Laie, dass gilt, aber wenn man das nicht vorher sieht, löst man zur Bestimmung eines UVR ein LGS.
JuniorMathematiker Auf diesen Beitrag antworten »

ja smile danke! hatte einen kleinen fehler! deswegen gings nicht auf!

danke für die schnelle antwort!
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