Satz zu ggT und kgV beweisen

29.11.2011, 21:37	Anna071990	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz zu ggT und kgV beweisen Meine Frage: Meine Aufgabe: Seien a,b,c natürliche Zahlen. Beweisen oder widerlegen Sie: ggT(a,b,c)kgV(a,b,c)=abc Meine Ideen:* Ich bin mir ziemlich sicher, dass ich es beweisen und nicht widerlegen muss. Habe es an einigen Beispielen ausprobiert und es erscheint mir auch logisch, dass dies gilt. Denn wenn man zum Beispiel den ggT oder den kgV durch Primfaktorzerlegung bestimmt (was wir in der Vorlesung gemacht haben), nimmt man ja für den ggT das Minimum der Exponenten und beim kgV das Maximum. Also z.B. seien a=98 und b=28 => 98=27^2 und 28=2^27 => ggT=27 und kgV=2^27^7. Und irgendwie ist es dann für mich logisch, dass sich das min und max ja quasi "wegkürzt" bei der zu beweisenden Aussage. Weiß nicht so ganz wie ich das formulieren soll, aber ich hoffe ihr versteht was ich meine. Ist meine Idee richtig? und wie schreibe ich das auf? komme bei dem Beweis einfach nicht weiter.
30.11.2011, 00:24	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \rm a=\prod _{i=1}^{n} p_i^{a_i} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \rm b=\prod _{i=1}^{m} p_i^{b_i} \end{eqnarray}$ es sei $\begin{eqnarray} \rm k=Max (n,m) \end{eqnarray}$ , entsprechende fehlende $\begin{eqnarray} a_i ~\text{\rm oder}~ b_i \end{eqnarray}$ sind dann Null. $\begin{eqnarray} \rm ggt(a,b)=\prod _{i=1}^{k} p_i^{\rm Min (a_i,b_i)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \rm kgv(a,b)=\prod _{i=1}^{k} p_i^{\rm Max (a_i,b_i)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \rm ggt(a,b)\cdot \rm kgv(a,b)=\prod _{i=1}^{k} p_i^{\rm Min (a_i,b_i)}\prod _{i=1}^{k} p_i^{\rm Max (a_i,b_i)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \rm \prod _{i=1}^{k} \rm p_i^{\rm Min (a_i,b_i)+\rm Max (a_i,b_i)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \rm \prod _{i=1}^{k} \rm p_i^{a_i+b_i} \end{eqnarray}$ .... Das Ganze geht sinngemäss auch mit 3 Zahlen.

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