Beweis Unterraum

01.12.2011, 14:27	DudiPupan	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Unterraum Meine Frage: Hallo, ich arbeite gerade an einigen Beweisen zum Thema Unterraum und habe eine Frage zu folgender Aufgabe: $\begin{eqnarray} Mat_{n \times n} \end{eqnarray}$ ist Vektorraum der $\begin{eqnarray} n \times n \end{eqnarray}$ Matrizen. Zeigen, oder widerlegen sie: $\begin{eqnarray} M:= \left\{ (a_{1}, ... , a_{n}) \in \mathbb R^{n} \| a_{1}+3a_{2}=a_{3} \right\} \end{eqnarray}$ ist für n>=3 Unterraum von $\begin{eqnarray} \mathbb R^{n} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Das neutrale Element 0 ist ja in dieser Menge enthalten, da 0+30=0 ist und der Vektor (0,...,0) somit in M liegt. Für $\begin{eqnarray} x:=(a_{1},...,a_{n}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y:=(b_{1},...,b_{n}) \end{eqnarray}$ , so ergibt sich: $\begin{eqnarray} x+y:=(a_{1}+b_{1},...,b_{n}+a_{n}) \end{eqnarray}$ und da $\begin{eqnarray} x,y \in M \end{eqnarray}$ , gilt $\begin{eqnarray} a_{1}+3a_{2}=a_{3} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_{1}+3b_{2}=b_{3} \end{eqnarray}$ und somit auch: $\begin{eqnarray} (a_{1}+3a_{2})+(b_{1}+3b_{2})=a_{3}+b_{3} \end{eqnarray}$ Wenn ich jetzt aber prüfen will, ob xy in M liegt habe ich das Problem, dass $\begin{eqnarray} (a_{1},a_{2},...,a_{n}) \cdot (b_{1},b_{2},...,b_{n}) \end{eqnarray*}$ doch gar nicht definiert ist, oder sehe ich das falsch??
01.12.2011, 14:29	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst nicht prüfen, ob das Produkt zweier Vektoren in der Menge ist, sondern ob jedes Skalare Vielfaches eines Elements der Menge wieder in der Menge liegt: $\begin{eqnarray} A\in M, \lambda \in \mathbb{R} \Rightarrow \lambda A \in M \end{eqnarray}$
01.12.2011, 14:31	DudiPupan	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, das habe ich auch gerade bemerkt Okay, blöder Fehler von mir. Vielen Dank

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