Basisergänzungssatz angewendet

01.12.2011, 17:03

martinio

Basisergänzungssatz angewendet

Sali,

kann mir bitte jemande mal den Zusammenhang des Basisergänzungssatzes und der Aufgabe erklären?

Aufgabe:
Voraussetzung:

Zitat:

Es sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum , U & W Unterräume des K-Vektorraumes, V bildet die direkte Summe aus U und W , sprich U + W = V und es gilt U geschnitten W = {0}

Behauptung:

Zitat:

Um für den Fall, dass V endlichdimensional ist zz. , dass zu jemden Unterraum U des K-Vektorraums V ein weiterer Unterraum U` von V so existiert, dass V die direkte Summe von U und U´ ist. Wende dazu den Basisergänzungssatz an.

Basisergänzungssatz:

Zitat:

ein Vektorraum K besitzt eine Basis

Zitat:

Je zwei Basen von K können bijektiv aufeinander abgebildet werden

Zitat:

Ist A eine linear unabhänige Teilmenge von K , dann gibt es eine Teilmenge von K derart, dass A geschnitten R eine Basis von K ist

01.12.2011, 17:18

galoisseinbruder

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Servas,

nimm eine Basis von U, ergänze sie zu einer basis von V (das geht dank Basisergänzungssatz). Betrachte die neuen Vektoren.

01.12.2011, 17:21

martinio

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ah mein lieblungstutor hat mir wieder eine erkenntnis gebracht ^^ danke galois. werde später noch rückfragen stellen! smile

02.12.2011, 17:26

martinio

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Sali,
hier zwei fragen:

muss ich ich nicht noch vorher zeigen,

(i) dass U,W Basen von V sind ? Sprich Teilmengenbeziehung und lineare unabhängigkeit von B,W von V ?
(ii )dass U ~ W bijektiv und W ~ U bijektiv sind ?

oder darf man dies als vorausgesetzt sehen? wenn ja womit ?

Zitat:

nimm eine Basis von U, ergänze sie zu einer basis von V (das geht dank Basisergänzungssatz). Betrachte die neuen Vektoren

. Die Aufgabenstellung weist drauf hin, dass V die direkte Summe von U und U' sein soll... eigentlich müsste dann U' die Elemente von W enthalten oder ?

02.12.2011, 17:42

galoisseinbruder

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zu (i):

u ist ein Unterraum, damit sicher kein Teil einer Basis.
Du kannst die gewählte Basis (nennen wir sie B) von U zu einer Basis (nennen wir sie A) von V ergänzen. Damit ist A automatisch linear unabhängig, da Basis.

zu(ii)

Zitat:

(ii )dass U ~ W bijektiv und W ~ U bijektiv sind ?

Das verstehe ich nicht. Nur Abbildungen können bijektiv sein, Vektorräume nie.
VR können isomorph sein (d.h. es gibt eine lineare Bijektion zwischen Ihnen.)
Aber: Wieso sollten die Räume ismorph sein? (Es ist $\begin{eqnarray*} K^2=K^2 \bigoplus \{0\} \end{eqnarray*}$ eine direkte Summe mit nicht isomorphen Summanden)

Zitat:

Die Aufgabenstellung weist drauf hin, dass V die direkte Summe von U und U' sein soll... eigentlich müsste dann U' die Elemente von W enthalten oder ?

Deine Aufgabe ist zu zeigen, dass es ein U' gibt mit: $\begin{eqnarray*} U \bigoplus U'=V \end{eqnarray*}$ .
Das W hat hier nichts zu suchen. das ist der Platzhalter in der def. der direkten Summe.

02.12.2011, 18:13

martinio

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danke für die schnelle antwort ! smile

habe mich in der aufgabestellung verlesen, der basis ergänzungssatz beschränkt sich nur auf

Zitat:

Ist A eine linear unabhänige Teilmenge von K , dann gibt es eine Teilmenge von K derart, dass A geschnitten R eine Basis von K ist

.

Damit fallen (i) und (ii) raus... trotzdem danke der Info!

Zitat:

Deine Aufgabe ist zu zeigen, dass es ein U' gibt mit: $\begin{eqnarray*} U \bigoplus U'=V \end{eqnarray*}$ .

Ich weiß wirklich nicht wie das nun gehen soll, hier ein Versuch:

$\begin{eqnarray*} U \bigoplus U'=V \end{eqnarray*}$

Sei u' $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U' und u $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U :

u' + u = v , v $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ V.

02.12.2011, 18:19

galoisseinbruder

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Du musst 2 Sachen zeigen:

Zitat:

U + W = V

und

Zitat:

U geschnitten W = {0}

zum Ersten:
Sei $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ . zu zeigen ist, dass es $\begin{eqnarray*} u \in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u' \in U' \end{eqnarray*}$ gibt mit v=u+u' (v ist vorgegeben nicht umgekehrt)
Und das Zweite:
Ist $\begin{eqnarray*} v \in U \cap U' \end{eqnarray*}$ so ist $\begin{eqnarray*} v=0 \end{eqnarray*}$ .

Beim Ersten benutze dass A Erzeugendensystem, beim Zweiten dass A linear unabhängig. (A war die gebastelte basis von V)

02.12.2011, 18:45

martinio

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zz.

(i) U + W = V
Sei $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ : z.B. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ <br /> b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a,b \in K \end{eqnarray*}$ , wobei v beliebig ist.
Wie kann v nun duch $\begin{eqnarray*} u \in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u' \in U' \end{eqnarray*}$ dargestellt werden, sodass v=u+u' gilt. Lösung per LGS ergibt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \lambda_{1}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \times \lambda_{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow a=1 \wedge b=1 \end{eqnarray*}$

ist das so richtig? bzw. was ist mit v beliebig gemeint ?

02.12.2011, 21:19

galoisseinbruder

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v beliebig meint dass es irgendein v sein kann, sprich wir wissen hier über dieses v nur, dass es aus V ist.
Ein Deinen Beispile nimmst Du implizit an ,dass U von die Basis $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ <br /> 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und U' die Basis $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ <br /> 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hat.
Verwende besser die allgemeine Schreibweise $\begin{eqnarray*} \{u_1, \ldots , u_n\} \end{eqnarray*}$ Basis von U und
$\begin{eqnarray*} \{u_{n+1}, \ldots , u_m\} \end{eqnarray*}$ Basis von U' . (Damit ist V m-dimensional).
Verwende jetzt die definierende Eigenschaft EZS und lin. unabh. wie im Skript definiert.

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