Vektorrechnung, kürzester Abstand.

01.12.2011, 17:24

abitur2012222

Vektorrechnung, kürzester Abstand.

Meine Frage:
Hallo,

folgende Aufgabe:

Berechnen Sie den Abstand des Punktes C von der Geraden gAB
$\begin{eqnarray*} \vec a \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec b \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec c \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich hätte nun zunächst die Gerade AB versucht folgendermaßen darzustellen:

$\begin{eqnarray*} \vec ab = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist dies so richtig? Auch die schreibweise. Denn unkorrekte Bezeichnungen geben bei uns Punktabzug :/
Sollte dies so stimmen würde ich noch gerne wissen ob ich das Lamda auch vor die erste Matrix hätte schreiben können, nur so am Rande zum verständnis. Oder ist dies elementar das ich es so schreibe?

Dann habe ich Spitze minus Fuß gerechnet. Ist dies überhaupt möglich? Denn ich habe ja nicht direkt einen Fuß sondern mehr, naja eine Gerade.

Zumindest sieht es dann so aus:

$\begin{eqnarray*} \vec d= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun habe ich das ganze soweit es ging ausgerechnet und von dem ganzen die Länge in Abhängigkeit von Lambda dargestellt. Dann habe ich das Ergebnis unter der Wurzel in die Punktscheitelform gebracht was folgendermaßen aussieht:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{k(14k(k+\frac{11}{14})^2+10,71 } \end{eqnarray*}$

01.12.2011, 20:04

Daniel1

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RE: Vektorrechnung, kürzester Abstand.
Hi,

ich konnte den Beitrag leider nicht mehr editieren da ich unangemeldet gepostet habe. Es fehlte noch mein Ergebnis. Ich habe den Scheitelpunkt genommen und kam so auf -0,78.

Kann dies stimmen? Sind meine Schritte korrekt oder gibts da einen Fehler?

01.12.2011, 23:13

Helferlein

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Also dem Ende deiner Ausführungen kann ich nicht mehr wirklich folgen. Was ist k und wo soll da eine Scheitelpunktsform stehen?
Aber abgesehen davon ist bereits der erste Schritt falsch. Was Du da ausgerechnet hast ist weder der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{ab} \end{eqnarray*}$ , noch die Gerade durch A und B, sondern die Gerade durch B und C.
Der Rest ist dann natürlich von den Werten her auch entsprechend falsch.

Zum prinzipiellen Vorgehen: Es ist richtig die Gerade zu bestimmen und dann den Verbindungsvektor in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ zu berechnen. Danach musst Du Dir aber klar werden, ob Du weiter mit der linearen Algebra vorgehen willst, oder in die Analysis springen willst.
Ersteres führt auf die Frage, wie sich der Verbindungsvektor zur Geraden verhalten muss, damit der kürzeste Abstand besteht. Zweiteres auf die Frage, wie sich der Abstand in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ darstellen lässt und wie man ihn minimiert.

02.12.2011, 02:00

mYthos

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Bemerkung zum Normalabstand (dies ist auch gleichzeitig der kürzeste Abstand) eines Punktes P von einer Geraden g in R3 (im dreidimensionalen Raum):

Der Abstand eines Punktes P mit dem Ortsvektor $\begin{eqnarray*} \vec p \end{eqnarray*}$ von einer Geraden g kann vektoriell sehr kurz und effizient berechnet werden:

Es sei

$\begin{eqnarray*} g: \vec x = \vec a + \lambda \vec g \ \text{und} \ \vec{OP} = \vec p \ \quad \ [ \ \vec {g_0} \ ... \ \text{normierter Richtungsvektor d. Geraden }] \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} d(P, g) = \frac{\mid \vec g \times (\vec p - \vec a)\mid}{|\vec g|} = \mid \vec {g_0} \times (\vec p - \vec a) \mid \end{eqnarray*}$

Diese Beziehung ist leicht einzusehen, wenn man die Flächenberechnung des Parallelogrammes mittels des Vektorproduktes mit jener aus Grundseite mal Höhe vergleicht.

Es gibt auch noch andere Methoden zu dieser Abstandsbestimmung.
Dieser hier ist aber der bei Weitem kürzeste mir bekannte Weg und gilt auch bei der Abstandsbestimmung zweier parallelen Geraden im Raum.

mY+

02.12.2011, 09:46

riwe

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RE: Vektorrechnung, kürzester Abstand.
aus

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \vec d= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

würde allerdings folgen

$\begin{eqnarray*} d^2=(1+\lambda)^2+(2+2\lambda)^2+(3+3\lambda)^2=14(1+\lambda)^2\to<br /> min \end{eqnarray*}$

woraus sofort folgt $\begin{eqnarray*} \lambda=-1 \end{eqnarray*}$

was man auch mit dem lotpunktverfahren bekommt Augenzwinkern

auch die darstellung deiner geraden scheint mir verbesserungsfähig:

statt $\begin{eqnarray*} \vec{ab} \end{eqnarray*}$ würde ich schreiben $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ und statt des "-" vor dem parameter ein "+" Augenzwinkern

den kürzesten weg zur abstandsberechnung hat dir eh mYthos hingemalt, ist halt eine formel mehr zum merken Augenzwinkern

02.12.2011, 19:05

Daniel1

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Zitat:

Original von Helferlein
Also dem Ende deiner Ausführungen kann ich nicht mehr wirklich folgen. Was ist k und wo soll da eine Scheitelpunktsform stehen?
Aber abgesehen davon ist bereits der erste Schritt falsch. Was Du da ausgerechnet hast ist weder der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{ab} \end{eqnarray*}$ , noch die Gerade durch A und B, sondern die Gerade durch B und C.
Der Rest ist dann natürlich von den Werten her auch entsprechend falsch.

Zum prinzipiellen Vorgehen: Es ist richtig die Gerade zu bestimmen und dann den Verbindungsvektor in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ zu berechnen. Danach musst Du Dir aber klar werden, ob Du weiter mit der linearen Algebra vorgehen willst, oder in die Analysis springen willst.
Ersteres führt auf die Frage, wie sich der Verbindungsvektor zur Geraden verhalten muss, damit der kürzeste Abstand besteht. Zweiteres auf die Frage, wie sich der Abstand in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ darstellen lässt und wie man ihn minimiert.

Hallo, k entspricht Lamda. Die Scheitelpunktform wurde gewählt um den Scheitelpunkt zu ermitteln. Er entspricht in der Tat dem kürzesten Abstand.

Das der erste Abstand falsch ist könnte wohl stimmen. Hier mein Verbesserungsvorschlag:

$\begin{eqnarray*} \vec ab = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} +\lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nun hoffe ich doch das diese Gerade so stimmt. Nun würde ich

$\begin{eqnarray*} \vec d= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} - (\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

berechnen.

Schließlich komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -5 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn man das ganze als Betrag in der Scheitelpunktformschreibt sieht das der Scheitelpunkt -22/12 ist.

Könnte jemand überprüfen ob dies stimmt? Bzw. kennt jemand ein Programm mit dem ich so etwas einfach nachprüfen kann.

Achja, Mythos. Dein Verfahren sieht wirklich sehr elegant aus, allerdings muss ich sagen das ich als jemand der erst seit zwei Wochen mit Vektoren arbeitet, damit durchaus überfordert ist. Weswegen ich mit "diesem einfachen Handwerkszeug" zu einem Ergebnis komme (kommen muss).

@riwe, also stimmt mein Weg? Ich habe allerdings einige Punkte falsch berechnet, was ich hier wieder ausgebessert habe. Nun sollte es stimmen, hoffe ich!

Der Scheitelpunkt wäre damit -0,9 und die Lösung für Lamda

02.12.2011, 21:55

Helferlein

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Bis zur Berechnung von d stimmt alles bis auf die Notation:
Die Gerade ist nicht der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{ab} \end{eqnarray*}$ , sondern wird mit $\begin{eqnarray*} g: \vec{v}=... \end{eqnarray*}$ bezeichnet und Du hast eine Klammer zuviel bei d.

Danach hast Du falsch zusammengefasst.

02.12.2011, 22:39

Daniel1

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So, ich hab die Fehler jetzt hoffentlich alle ausgebessert. Mit diesen Latexformeln überseh ich leicht mal nen Fehler in der Matrix. Ich hoffe das stimmt nun so. Das Verfahren zur minimalen Abstandsberechnung stimmt ja scheinbar. Ist die Notation so nun korrekt? Sind noch irgendwelche Fehler drin. Kann leider vorkommen, da diese Vektorrechnung noch ganz neu ist.

$\begin{eqnarray*} g: \vec{v}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} +\lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g: \vec{vc} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} - (\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

Schließlich komme ich auf

$\begin{eqnarray*} g: \vec{vc}=\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -5 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

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