Unterraum

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DudiPupan Auf diesen Beitrag antworten »
Unterraum
Hallo,
ich hätte da eine kleine Frage zum Thema Unterräume:
Und zwar, was muss eine Teilmenge eines Vektorraums, die Unterraum ist erfüllen, damit sie gleich der Vektorraum ist?

Vielen Dank
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterraum
Zitat:
Original von DudiPupan
Und zwar, was muss eine Teilmenge eines Vektorraums, die Unterraum ist erfüllen, damit sie gleich der Vektorraum ist?
Sie muss alle Elemente des Vektorraums enthalten, d.h. es reicht zu zeigen, dass der Unterraum die selbe Dimension hat.
 
 
DudiPupan Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, und wie Zeige ich das am besten?!
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DudiPupan
Okay, und wie Zeige ich das am besten?!
So wie ich es oben gesagt habe: Bestimme eine Basis des UVR und zeige, dass die Dimension des UVR, also die Anzahl der Basisvektoren, der Dimension des VR entspricht.

Wenn du Fragen zu einer konkreten Aufgabe hast dann poste diese doch bitte.
DudiPupan Auf diesen Beitrag antworten »

okay, also die Aufgabe lautet:
Es sei eine Menge mit mindestens zwei Elementen von nxn-Matrizen über einem Körper K, die unter Matrixaddition abgeschlossen ist, so dass für alle und ALLE nxn-Matrzen X gilt, dass und . Zeige:

Ich habe mir überlegt, dass ich mit der Eigenschaft von J: das irgendwie auf bringe und somit zeige, dass alle nxn-Matrizen in J sind.
Aber das habe ich bis jetzt einfach nicht geschafft, oder funktionert das nicht so?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Ansatz ist der, dass du ein beliebiges nimmst, und daraus dann folgerst.
DudiPupan Auf diesen Beitrag antworten »

brauche ich dazu die Eigenschaft der Abgeschlossenheit unter der Matrixaddition?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

@Math1986:
Eher anders herum, denn sonst hast Du ja nur die Teilmenge gezeigt.
DudiPupan Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DudiPupan


Ich habe mir überlegt, dass ich mit der Eigenschaft von J: das irgendwie auf bringe und somit zeige, dass alle nxn-Matrizen in J sind.
Aber das habe ich bis jetzt einfach nicht geschafft, oder funktionert das nicht so?


Also so wie ich sagte?!
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Helferlein
@Math1986:
Eher anders herum, denn sonst hast Du ja nur die Teilmenge gezeigt.
Danke, korrigiert Wink
DudiPupan Auf diesen Beitrag antworten »

ach, verdammt, ich komm einfach nicht drauf.
bin ich schon auf dem richtigen weg?
Also ich probiere halt auf diese art und weise rum:



also so probiere ich rum, aber komme einfach nicht darauf, wie ich zu etwas komme, woraus ich komme
DudiPupan Auf diesen Beitrag antworten »

?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Da Math nicht online ist:
Ich würde zeigen, dass J ein Untervektorraum ist und dass die Elementarmatrizen (Also solche, die nur eine eins und sonst nur Nullen enthalten) in J liegen.
DudiPupan Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, also zum beweis, dass es ein Unterraum ist bin ich folgendermaßen Vorgegangen:
Abgeschlossenheit bzgl. Addition ist ja schon vorausgesetzt.
also muss ich noch zeigen, dass die Nullmatrix enthalten ist, und die Abgeschlossenheit bzgl. der Skalarmultiplikation:

Nullmatrix:
Sei die Nullmatrix, somit folgt:

Somit gilt:

Abgeschlossenheit:
Da unter Matrixaddition abgeschlossen ist, folgt:





etc.
DudiPupan Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wie ich das mit den elementarmatrizen nachweisen soll, weiß ich leider nicht
DudiPupan Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, bei der abgeschlossenheit bin ich glaub auf eine bessere Lösung gekommen:

Sei , somit:

Somit ist J Untervektorraum.

Stimmt das so?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

So muss man es machen, denn über die Addition bekommst Du ja nur die Gültigkeit für natürliche Vielfache heraus.

Bzgl. der Elementarmatrizen: Wenn die Matrix ist, die in der i.Zeile und k.Spalte eine 1 hat und sonst nur Nullen, was gilt dann für und ?
Wie sehen diese Produkte aus?
DudiPupan Auf diesen Beitrag antworten »

für wäre alles 0, bis auf die k-te Spalte
und für wäre alles null, bis auf Zeile i. Also k-te Spalte und i-te Zeile behalten ihre Werte von A
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Und was weisst Du noch über diese Produkte?
DudiPupan Auf diesen Beitrag antworten »

dass diese wieder in J sind?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig Freude

Wie sieht es dann mit aus ?
DudiPupan Auf diesen Beitrag antworten »

das wäre die Matrix, die nur Nullen enthält, außer für und somit kann man mit alle Elementarmatrizen bilden, die wieder in J sind?
Stimmt das?
Aber was ist, wenn gilt?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist noch das letzte Problem:
Wieso muss es in J eine Matrix geben, die voll besetzt ist, also keine einzige Null enthält ?
DudiPupan Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmm... hat es was mit der Definition eines Unterraums zu tun?
Also wir haben ja auf jeden Fall gegeben, dass es mindestens 2 Elemente in J geben muss und eines davon ist ja die Nullmatrix
DudiPupan Auf diesen Beitrag antworten »

Wahrscheinlich eher mit den Kriterien und , oder?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.
Da J mehr als ein Element enthält, gibt es eine Matrix, die mindestens einen Eintrag ungleich Null hat.
Falls ihr schon besprochen habt, dass sich elementare Zeilen- und Spaltenumformungen als Multiplikation mit geeigneten Matrizen darstellen lässt, ist damit klar, dass man diesen Eintrag in jede beliebige Zeile und/oder Spalte transformieren kann.
DudiPupan Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du, durch multiplizieren mit einer Elementarmatrix vom Typ 3, also Zeilen und Spalten-Vertauschung und dann anschließend durch Addition...?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Hab grad wenig Zeit, daher verweise ich kurz auf wikipedia, Stichwort Elementarmatrizen.
Da steht welche Multiplikation welche Umformung ergibt.
Um nun unseren Eintrag ungleich Null in eins der Nullfelder zu bekommen, müssen wir einfach Spalten und/oder Zeilen geeignet tauschen. Da das alles durch Multiplikationen darstellbar ist, sind die Ergebnisse alle in J.
Somit finden wir schlimmstenfalls n² Matrizen mit und können diese mittels der vorher angegebenen Multiplikation auf die Gestalt bringen.
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