wurzel aus Matrix

03.12.2011, 00:10

paulemann

wurzel aus Matrix

Meine Frage:
Hallo liebe Community,

meine Frage sieht wie folgt aus:

Ich soll die Wurzel aus folgender Matrix bestimmen:

A= 0 2
2 3

Meine Ideen:
Da A=B*B gelten soll und B= a b gesucht ist habe ich folgenden Weg versucht:
c d

A b * a b = 0 2
C d c d = 2 3

Somit komme ich auf die folgenden Gleichungen:
A²+bc=0
Ab+bd=2
ba+bd=2
Cb+d²=3

Diese lassen sich aber meiner Meinung nach nicht lösen, da ich die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen müsste.

Wäre dankbar für eure Hilge!

03.12.2011, 09:39

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

zwei kleine Bemerkungen vorab: Es gibt hier einen Formeleditor (ist rechts neben dem Eingabefeld bei Werkzeuge), damit kann man Matrizen schön darstellen.
Außerdem vermute ich, dass du in der Matrix klein-Buchstaben meinst, auch wenn Du Groß-Buchstaben schreibst.

Die Dritte Gleichung ist eine andere als die, die Du aufgeschrieben hast, wohl Tippfehler.

Wie kommst Du drauf hier eine Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen zu müssen? (soll das heißen, dass $\begin{eqnarray*} A, B \in Mat(2\times 2, \mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ ? )

03.12.2011, 14:26

paulemann

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: wurzel aus Matrix
A²+bc=0
Ab+bd=2
ca+cd=2
Cb+d²=3

Ja du hast recht so müssen sie sein. Wenn ich versuche dieses gleichungssystem zu lösen muss ich unterwegs die wurzel von ner negativen Zahl ziehen. Oder kann jemand die vier gleichungen lösen?

03.12.2011, 14:32

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

dazu nochmal expilzit die Frage:
was ist der grundkörper K (-ring?) auf dem A lebt?
Also das hier:
$\begin{eqnarray*} A \in Mat(2\times 2, K) \end{eqnarray*}$
gibts irgendwelche Bedingungen an B?

Und was ist mit den Großbuchstaben?

Deine Frage kann man nur beantworten wenn man das weiß, oder ne Glaskugel besitzt. Meine ist mir letztens kaputt gegangen, hoffe ich krieg ne neue zu Weihnachten.

03.12.2011, 15:04

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist symmetrisch, läßt sich also mittels einer orthogonalen Matrix $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ auf Diagonalgestalt $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ bringen:

$\begin{eqnarray*} D = T^{\top} A T \end{eqnarray*}$

Jetzt sucht man eine Diagonalmatrix $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} W^2 = D \end{eqnarray*}$ . Setzt man dann $\begin{eqnarray*} B = T W T^{\top} \end{eqnarray*}$ , so gilt:

$\begin{eqnarray*} B^2 = T W T^{\top} T W T^{\top} = T W^2 T^{\top} = T D T^{\top} = A \end{eqnarray*}$

Die Existenz von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ hängt vom zugrunde liegenden Körper ab. Darauf hat galoisseinbruder schon hingewiesen.

03.12.2011, 15:26

Paulemann

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss gestehen, dass ich keine Ahnung habe was ein Grundkörper k(-ring) sein soll auf dem A "lebt"? DIe großbuchstaben waren ein Versehen.

Die Diagonalmatrix habe ich:
\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

Was mache ich jetzt mit der Diagonalmatrix?

03.12.2011, 15:28

paulemann

Auf diesen Beitrag antworten »

Diagonalmatrix:

4 0
0 -1

03.12.2011, 15:53

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

was ist der grundkörper K (-ring?) auf dem A lebt? Also das hier: $\begin{eqnarray*} A \in Mat(2\times 2, K) \end{eqnarray*}$

Um meine mathematische Umgangssprache noch kurz zu erklären (wobei ich dachte das mit dem Nachsatz getan zu haben)
Woher kommen die Zahlen, die in der Matrix stehen?
Das muss entweder in der Aufgabenstellung stehen, oder wurde in der Vorlesung vereinbart.
Außer dieser $\begin{eqnarray*} A \in Mat(2\times 2, K) \end{eqnarray*}$ Notation ist auch $\begin{eqnarray*} K^{2\times 2} \end{eqnarray*}$ gebräuchlich.
Was steht da für K?

03.12.2011, 16:18

Paulemann

Auf diesen Beitrag antworten »

Finden Sie die Wurzel der Matrix
A =
0 2
2 3

Das ist die gesamte Aufgabenstellung

03.12.2011, 18:28

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Vermutlich ist $\begin{eqnarray*} K = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} K = \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ .

Das Multiplizieren von Diagonalmatrizen ist besonders einfach. Das Produkt zweier Diagonalmatrizen ist nämlich wieder eine Diagonalmatrix. Man muß dabei einfach die Elemente der Diagonalen koordinatenweise miteinander multiplizieren. Deshalb kannst du eine Wurzelmatrix $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ der Diagonalmatrix $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ , also eine Diagonalmatrix $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} W^2 = D \end{eqnarray*}$ sofort bestimmen, jedenfalls wenn $\begin{eqnarray*} K = \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ist. Wie du dann daraus das gesuchte $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ erhältst, habe ich bereits erklärt.

08.04.2012, 15:02

Daukia

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: wurzel aus Matrix
Hallo, hier Daukia,

Viel Spass beim Wurzelziehen aus einer 2x2-Matrix!!
Ich habe root(matrix(0,2;2,3)) berechnet.
Ich habe jetzt eine gewisse Routine darin,
die Wurzel aus einer 2x2-Matrix zu berechnen.
Die Elemente der Matrix müssen in numerischer Form vorliegen,
also zB. 1.414 und nicht wurzel aus 2.
Das Ergebnis entsteht auch in numerischer Form.
Die Schreibweise: matrix(A,B;C,D) bedeutet eine Matrix.
die Elemente werden durch Kommata getrennt,
die Zeilen durch Semikolons.
Die bekannte herkömmliche Schreibweise ist:
(A B)
(C D)
ist aber wesentlich unhandlicher,
ein Wurzelzeichen dabei viel zu kompliziert.
Ich schreibe statt dem Wurzelzeichen root
[gesprochen: Wurzel, trotz der englischen Bezeichnung root,
man schreibt ja auch cos und spricht cosinus,
man gewöhnt sich daran!]
Die Ausgangsmatrix bezeichne ich mit m5,
die 4 gesuchten Matrizen mit m1 bis m4.
Beispiel: gegeben ist m5 = (0,2;2,3),
gesucht sind also m1, m2, m3, m4, die 4 Lösungen von:
m1^2 = m2^2 = m3^2 = m4^2 = m5,
m1 ist die Wurzel , also root(m5),
die anderen m2 bis m4 sind Nebenlösungen.
Die Berechnung hat ergeben:
m5 = matrix(0,2;2,3);
m1 = matrix(0.4 + 0.8 i, 0.8 - 0.4 i; 0.8 - 0.4 i, 1.6 + 0.2 i);
m3 = matrix(-0.4 + 0.8 i, -0.8 - 0.4 i; -0.8 - 0.4 i, -1.6 + 0.2 );
m2 = -m1; m4 = -m3;
Ein anderes Beispiel:
m5 = matrx(2, 2i; -2i, 5)
m1 = matrix(1.289898, 0.579796 i; - 0.579796, 2.159592);
m3 = matrix(-0.310102, 1.379796 i; -1.379796 i, 1.759592);
m2 = -m1; m4 = -m3;
Ein Beispiel mit einfacheren Zahlen:
m5 = matrix(29, 28; 7, 8);
m1 = matrix(5, 4; 1, 2);
m3 = matrix(4.6, 5.6; 1.4, 0.4);
m2 und m4 wie üblich.

Wenn jemand an der Wurzel aus einer speziellen 2x2-Matrix interessiert ist,
bitte Kontakt über email:
[email protected]
betreff: daukia

Neue Frage »

Antworten »

wurzel aus Matrix

Verwandte Themen