coretraktion

03.12.2011, 12:30

zweiterAdvent

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coretraktion

Meine Frage:
fasse eine relation $\begin{eqnarray*} R: A\rightharpoondown B \end{eqnarray*}$ als ein morphismus in der kategorie $\begin{eqnarray*} Ens_{Rel} \end{eqnarray*}$ auf. dann gilt

eine relation $\begin{eqnarray*} R: A\rightharpoondown B \end{eqnarray*}$ ist eine coretraktion, wenn R injektiv und überall definiert ist.

dabei ist $\begin{eqnarray*} Ens_{Rel} \end{eqnarray*}$ die kategorie, deren objekte die mengen sind und deren morphismen relationen sind

Meine Ideen:
hi, leute!

erstmal frag ich mich, wie man eine relation als morphismus auffassen kann. also ich denke mir das so:

eine relation $\begin{eqnarray*} R: A\rightharpoon B \end{eqnarray*}$ ist ja nix anderes als $\begin{eqnarray*} R\subseteq A\times B \end{eqnarray*}$ und wenn man das nun als morphismus betrachten soll, ist damit vielleicht gemeint, dass einfach jedem $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} y\in B \end{eqnarray*}$ zugeordnet wird, sodass $\begin{eqnarray*} (x,y)\in R \end{eqnarray*}$ ?

meint man so auch, dass R injektiv und überall definiert sein soll?

also R betrachten als abbildung von A nach B? und inkjektiv wie immer, also höchstens en urbild und überall definiert, dass es zu jedem $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} y\in B \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} (x,y)\in R \end{eqnarray*}$ ?

hab ich das richtig verstanden?

03.12.2011, 12:44

galoisseinbruder

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Hallo,

Morphismen müssen keine Abbildungen sein. Schau Dir die Def. einer Kategorie nochmal genau an, da steht nirgends was von Abbildung.
Es muss nur eine assoziative Verknüpfung von Morphismen geben, sowie einen Identitätsmorphismus.

03.12.2011, 12:50

zweiterAdvent

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danke!

also assoziativ ist die komposition von relationen und eine identität gibt es auch, wenn man zum beispiel

$\begin{eqnarray*} R: A\rightharpoondown B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S: B\rightharpoondown A \end{eqnarray*}$ nimmt und dann

$\begin{eqnarray*} S\circ R \end{eqnarray*}$ , dann ist doch $\begin{eqnarray*} S\circ R\subseteq A\times A \end{eqnarray*}$ .

stimmt das?

03.12.2011, 12:57

galoisseinbruder

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Ja, wobei ich es sinnvoller finde Morphismen-Notation beizubehalten.
Der Sinn von

Zitat:

$\begin{eqnarray*} R: A\rightharpoondown B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S: B\rightharpoondown A \end{eqnarray*}$ nimmt und dann $\begin{eqnarray*} S\circ R \end{eqnarray*}$ , dann ist doch $\begin{eqnarray*} S\circ R\subseteq A\times A \end{eqnarray*}$ .

erschließt sich mir aber nicht.

03.12.2011, 13:00

zweiterAdvent

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was meinst du mit morphismen-notation?

hm, also was ich eigentlich sagen wollte:

es gibt doch $\begin{eqnarray*} A\rightharpoondown A \end{eqnarray*}$ und das ist doch sozusagen die Identität?

03.12.2011, 13:04

galoisseinbruder

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Morphimen Notation meint Pfeile, für mich.
Wie sieht die Identität hier konkret aus?

OT: Kategorientheorie ist nichts was man normalerweise in den ersten paar Semestern oder pflichtmäßig hört. Daher gehen meine Antworten hier von dieser Voraussetzung aus. Sollte dem nicht so sein bitte anmerken.

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03.12.2011, 13:15

zweiterAdvent

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das muss ich erstmal verstehen.

also zu jedem objekt X muss es ja einen morphismus $\begin{eqnarray*} id_X:X\to X \end{eqnarray*}$ geben, sodass

$\begin{eqnarray*} id_X\circ f=f \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} f:\to X \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g\circ id_X=g \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} g:X\to Z \end{eqnarray*}$

wenn ich jetzt zum beispiel die relation $\begin{eqnarray*} R: A\rightharpoondown B \end{eqnarray*}$ nehme, so ist das aufzufassen als morphismus $\begin{eqnarray*} R: A\to B \end{eqnarray*}$ (morphismenschreibweise) und was ist denn jetzt die identität?

ich würde meinen:

$\begin{eqnarray*} id_B: B\to B \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} id_B\circ R=R \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} id_A: A\to A \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} R\circ id_A=R \end{eqnarray*}$

Also wieder als Schreibweise als Relation: $\begin{eqnarray*} B\rightharpoondown B \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} A\rightharpoondown A \end{eqnarray*}$ .

??

03.12.2011, 13:21

galoisseinbruder

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Zitat:

Wie sieht die Identität hier konkret aus?

sprich welche Relation $\begin{eqnarray*} id_B : B \rightarrow B \end{eqnarray*}$ erfüllt die Bedingung an die Identität. (dafür natürlich keine morphismenschreibweise)

03.12.2011, 13:23

zweiterAdvent

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meinst du jetzt für $\begin{eqnarray*} S\circ R \end{eqnarray*}$ ?

03.12.2011, 13:29

galoisseinbruder

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Was zur ***** haben S und R mit der Identität zu tun?

Du hast doch selbst schon geschrieben was $\begin{eqnarray*} id_ B \end{eqnarray*}$ erfüllen muss:

Zitat:

also zu jedem objekt X muss es ja einen morphismus $\begin{eqnarray*} id_X:X\to X \end{eqnarray*}$ geben, sodass $\begin{eqnarray*} id_X\circ f=f \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} f:\to X \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} g\circ id_X=g \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} g:X\to Z \end{eqnarray*}$

noch genauer kann ich nicht werden ohne die identität selber hinzuschreiben, was ich nicht tun werde.

03.12.2011, 13:30

zweiterAdvent

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Ich weiß ja bloß nicht, wovon Du jetzt die Identität wissen möchtst Big Laugh

Big Laugh

03.12.2011, 13:35

galoisseinbruder

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Ich will die gar nicht wissen. Du willst sie wissen.
Und das habe ich mehrfach bereits gesagt. ein letztes Mal:

Zitat:

sprich welche Relation $\begin{eqnarray*} id_B : B \rightarrow B \end{eqnarray*}$ erfüllt die Bedingung an die Identität.

.
Die Identität von etwas ist auch ein seltsamer Ausdruck.

Sollte nicht irgendwas konstruktives von Dir kommen bin ich raus.

03.12.2011, 13:40

zweiterAdvent

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die relation $\begin{eqnarray*} B\rightharpoondown B \end{eqnarray*}$ , wo man jedem Element für das Kreuzprodukt das gleiche Element zuordnet, also zum Beispiel $\begin{eqnarray*} (b,b) \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} b\in B \end{eqnarray*}$

03.12.2011, 13:44

galoisseinbruder

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natürlich, "zufälligerweise" ist das die Identitätsabbildung.
Wobei

Zitat:

jedem Element für das Kreuzprodukt das gleiche Element zuordnet,

zumindest sehr unsauber formuliert ist.
Und dafür haben wir jetzt so lange gebraucht?

03.12.2011, 13:48

zweiterAdvent

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ja, sorry. zuerst habe ich gedacht, daß $\begin{eqnarray*} B\rightharpoondown B \end{eqnarray*}$ schon die Antwort ist, aber man muss ja spezifizieren, welche spezielle Relation die Identiät ist.

Daß es nun sozusagen von B nach B geht, reicht ja nicht; das muss ja dann nicht die Identiät sein.

noch eine andere frage.

kann man hier sagen: $\begin{eqnarray*} R(a)\in B \end{eqnarray*}$ oder wäre das wieder zu sehr am Abbildungsbegriff angelehnt?

----

ich hoffe, jetzt kann ich mit dem beweis der obigen aufgabe mal anfangen.

03.12.2011, 13:58

galoisseinbruder

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Nein, natürlich nicht. Das wäre grober Unfug. Da R eine Relation ist, ist $\begin{eqnarray*} R(a) \end{eqnarray*}$ a priori eine Menge.

03.12.2011, 14:06

zweiterAdvent

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So richtig klar ist mir das nicht.

Wenn $\begin{eqnarray*} R: A\rightharpoondown B \end{eqnarray*}$ eine Relation ist und beispielsweise $\begin{eqnarray*} (a,b)\in R \end{eqnarray*}$ , wieso sollte man dann nicht sagen können: $\begin{eqnarray*} b=R(a) \end{eqnarray*}$ ?

03.12.2011, 14:11

galoisseinbruder

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Betrachte die Relation < auf den ganzen Zahlen.
Dann ist " $\begin{eqnarray*} R(-1)= \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ " , da -1< n (d.h. <(-1,n) ) für alle natürlichen Zahlen n.

03.12.2011, 14:14

zweiterAdvent

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Das bedeutet, man kann nicht sagen, daß R(a) irgendein bestimmtes Element in B ist, sondern R(a) ist die ganze Menge B?

03.12.2011, 14:22

galoisseinbruder

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wieso denn auf einmal ganz B?
die natürlichen zahlen sind nicht die ganzen zahlen.
Und die Anführungszeichen sind auch nicht ohne Grund da, da man aufgrund der verwechslungefahr die Notation f(a) normalerweise nur für Abbildungen verwendet.

Ohne Dir zu nahe treten zu wollen:
Bist Du Erstsemster, oder Informatiker?

03.12.2011, 14:27

Gast11022013

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Was passiert dann hier auf Seite 2?

Edit: Hier stand ein Link, der die Lösung enthielt, ich habe ihn wieder entfernt.

Da wird die Schreibweise f(a) benutzt und da geht es, wenn ich es richtig durchblicke, auch um eine Relation.

(Heißt linkstotal das Gleiche wie "überall definiert?)

03.12.2011, 14:51

galoisseinbruder

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@Dennis2010:
(ja, siehe z.B. Wikipedia)
Ohne weitere erklärung ist das nach meinen obigen Ausführungen imho falsch.
kann aber sein , dass in der Vorlesung eine Notation vereinbart wurde wie etwa
$\begin{eqnarray*} (f(a),b):= \{(x,b)| (a,x) \in f\} \end{eqnarray*}$ . Trotzdem halte ich es für sehr fragwürdig, auch unter didaktischen Aspekten.

Danke auch dass Du dem Fragensteller die Lösung die Lösung verlinkt hast.

03.12.2011, 14:57

Gast11022013

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In Ordnung.

Und wegen des Links: Den entferne ich natürlich wieder.

03.12.2011, 15:38

Gast11022013

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Darf ich da vllt. mal weiter fragen?

Die Voraussetzungen seien die gleichen wie oben.

Es soll gezeigt werden, daß die Relation $\begin{eqnarray*} R: 2=\left\{0,1\right\}\to \left\{a,b,c\right\} \end{eqnarray*}$ , wobei diese drei Elemente verschieden seien, definiert als

$\begin{eqnarray*} R:=\left\{(0,a), (0,b), (1,b), (1,c)\right\} \end{eqnarray*}$ eine Coretraktion (und daher auch monomorph) ist, aber nicht injektiv.

Außerdem ist noch angegeben, daß eine zugehörige Retraktion $\begin{eqnarray*} T: \left\{a,b,c\right\}\to\left\{0,1\right\} \end{eqnarray*}$ gegeben ist durch:

$\begin{eqnarray*} T:=\left\{(a,0),(c,1)\right\} \end{eqnarray*}$ .

Zur Injektivität:

Wenn R nicht injektiv ist, muss es Elemente $\begin{eqnarray*} s,s'\in\left\{0,1\right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t\in\left\{a,b,c\right\} \end{eqnarray*}$ geben mit $\begin{eqnarray*} (s,t), (s',t)\in R \end{eqnarray*}$ .

Das ist der Fall: $\begin{eqnarray*} (0,b), (1,b)\in R \end{eqnarray*}$ .

Ist das schon der Beweis dafür, daß R nicht injektiv ist?

Wie zeigt man, daß R eine Coretraktion ist?

Damit R eine Coretraktion ist, muss man doch ein $\begin{eqnarray*} S: \left\{a,b,c\right\}\to\left\{0,1\right\} \end{eqnarray*}$ finden, sodaß $\begin{eqnarray*} S\circ R=id_2 \end{eqnarray*}$ .

Da die Retraktion T angegeben ist, benötigt man die dazu vielleicht?

03.12.2011, 15:49

galoisseinbruder

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Zitat:

Das ist der Fall: $\begin{eqnarray*} (0,b), (1,b)\in R \end{eqnarray*}$ .

Das nennt man gemeinhin Geggenbeispiel zur Behauptung R injektiv.

zu Co-retraktion:
Wie lautet die Defintion davon? Und ja T ist ein Kandidat.

03.12.2011, 16:04

Gast11022013

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Okay, damit ist Injektivität abgehakt. Bestens.

Zur Coretraktion:

R ist eine Coretraktion g.d.w. $\begin{eqnarray*} \exists S\in\operatorname{Mor}(\left\{a,b,c\right\}\to\left\{0,1\right\}): S\circ R=id_{\left\{0,1\right\}} \end{eqnarray*}$

Die Idee ist es also jetzt, $\begin{eqnarray*} S:=T \end{eqnarray*}$ zu probieren.

Seien $\begin{eqnarray*} x,x'\in \left\{0,1\right\} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} T\circ R=\left\{(x,x'):\exists y\in \left\{a,b,c\right\}\text{mit} (x,y)\in R\wedge (y,x')\in T\right\} \end{eqnarray*}$

Und wenn ich mir R bzw. T ansehe, so folgt daraus wegen $\begin{eqnarray*} (0,a), (1,c)\in R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (a,0), (c,1)\in T \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} T\circ R=\left\{(0,0), (1,1)\right\}=id_{\left\{0,1\right\}} \end{eqnarray*}$ .

Stimmt das so?

03.12.2011, 16:06

galoisseinbruder

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Ja.

03.12.2011, 16:32

Gast11022013

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Noch eine zugehörige Teilaufgabe, die mich in Verlegenheit bringt:

"Dualisiere" die Aussagen 1 und 2 mittels des kontravarianten Isomorphismus

$\begin{eqnarray*} Q: (Ens_{Rel})^{op}\to Ens_{Rel} \end{eqnarray*}$ .

Anmerkung meinerseits:

Aussage 1 war die Aussage, die zweiterAdvent gestellt hatte.
Aussage 2 die, die ich gerade bewiesen habe.

Wie ist diese Aufgabe zu verstehen, mir fehlt das Verständnis.

Was ich verstanden habe, ist, daß Q ein Funktor ist, den man Isomorphismus nennt.
--------------------------------------------------

Allgemeines:

Man nennt einen Funktoren $\begin{eqnarray*} F: A\to B \end{eqnarray*}$ Isomorphismus, wenn ein Funktor $\begin{eqnarray*} G: B\to A \end{eqnarray*}$ ex. mit $\begin{eqnarray*} F\circ G=Id_B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} G\circ F=Id_A \end{eqnarray*}$ .

Die zu einer Kategorie X duale Kategorie bezeichnet man als $\begin{eqnarray*} X^{op} \end{eqnarray*}$ . Dabei ist $\begin{eqnarray*} Ob(X^{op})=Ob(X) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \operatorname{Mor}(X^{op})=\operatorname{Mor}(X) \end{eqnarray*}$ , wobei für alle $\begin{eqnarray*} A,B\in Ob(X) \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} X^{op}(A,B):=X(B,A) \end{eqnarray*}$ .

03.12.2011, 16:43

galoisseinbruder

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Nehme an Du meinst:
$\begin{eqnarray*} Mor_{X^{op}}(A,B):=Mor_X (B,A) \end{eqnarray*}$ .
Anschaulich: Die Pfeile drehen sich um.

Dualisiere meint wohl: Übersetze mittels des Funktors in die "Bild"-Kategorie
$\begin{eqnarray*} Ens_{Rel} \end{eqnarray*}$

03.12.2011, 16:51

Gast11022013

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Ja, das meinte ich.

Danke für die Korrektur!

Wenn ich mir also jetzt diese Aussage nochmal hernehme:

"Eine Relation $\begin{eqnarray*} R: A\rightharpoondown B \end{eqnarray*}$ ist eine Coretraktion in $\begin{eqnarray*} Ens_{Rel} \end{eqnarray*}$ , wenn R injektiv und überall definiert ist.",

dann bezieht sich diese Aussage doch auf einen Morphismus in der Kategorie $\begin{eqnarray*} Ens_{Rel} \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt soll ich was machen?

[Habe das noch nicht begriffen, sorry.]

03.12.2011, 16:58

galoisseinbruder

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Was heißt das in der dualen Kategorie? Sprich welche eigenschaften hat R dort.
Und was tut dann Q damit?

03.12.2011, 17:04

Gast11022013

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Fällt mir echt schwer, das zu verstehen.

In der dualen Kategorie $\begin{eqnarray*} (Ens_{Rel})^{op} \end{eqnarray*}$ - wäre da $\begin{eqnarray*} R: B\rightharpoondown A \end{eqnarray*}$ ?

Aber was Q macht... verwirrt

verwirrt

03.12.2011, 17:17

galoisseinbruder

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Was Q macht kann ich nicht sagen. Du hast nicht verraten was Q ist.
$\begin{eqnarray*} R: A\to B \end{eqnarray*}$ ist ein Morphismus von B nach A in der dualen kategorie, also ja.

mein tipp: versuchs nicht zu sehr es zu verstehen sondern geh nur die Def. durch.
Kategorientheorie heißt nicht umsonst abstract nonsense.

03.12.2011, 17:22

Gast11022013

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Oh, sorry.

Auf dem Übungszettel ist dieser Funktor gegeben:

$\begin{eqnarray*} Ens_{Rel}\to (Ens_{Rel})^{op} \end{eqnarray*}$ ordnet zu:

$\begin{eqnarray*} A\mapsto A, (R: A\rightharpoondown B)\mapsto (R^{*}:B\rightharpoondown A) \end{eqnarray*}$ .

Und Q soll jetzt ja der kontravariante Funktor sein, habe ich jedenfalls so verstanden.

Okay, und jetzt soll ich sowas sagen wie:

" $\begin{eqnarray*} R:B\rightharpoondown A \end{eqnarray*}$ ist eine Retraktion in $\begin{eqnarray*} (Ens_{Rel})^{op} \end{eqnarray*}$ , wenn..." ?

Also aus Coretraktion wird Retraktion, denke ich.

Und aus injektiv und überall definiert wird vielleicht bijektiv?

03.12.2011, 17:35

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

Vorher wars noch: $\begin{eqnarray*} Q: (Ens_{Rel})^{op} \to Ens_{Rel} \end{eqnarray*}$
Was in meinen Augen mehr Sinn ergibt, denn dann ist Q ein kontra-varianter Funktor von $\begin{eqnarray*} Ens_{Rel} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} Ens_{Rel} \end{eqnarray*}$ .
(wohkgemerkt. aus gibt nicht den kontra-varianten Funktor)

Zitat:

Und aus injektiv und überall definiert wird vielleicht bijektiv?

garantiert nicht. dann wäre R berreits eine bijektive Funktion.
Huer sind die links-... und rechts-.. Bezeichungen bei relationen nützlich.

03.12.2011, 17:47

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Zettel ist sehr verwirrend, wie ich finde.

Also bezüglich der Aufgabe hier steht da:

Dualisiere die Aussagen mittels des kontravarianten Isomorphismus:

$\begin{eqnarray*} (Ens_{Rel})^{op}\to Ens_{Rel} \end{eqnarray*}$ .

Weiter oben auf dem Zettel steht das, was ich eben geschrieben habe, also wirklich
$\begin{eqnarray*} Ens_{Rel}\to (Ens_{Rel})^{op} \end{eqnarray*}$ .

-------------------------------------------

Noch ein Versuch:

Aus $\begin{eqnarray*} R: A\rightharpoondown B \end{eqnarray*}$ wird $\begin{eqnarray*} R: B\rightharpoondown A \end{eqnarray*}$ .

Aus Co-Retraktion in $\begin{eqnarray*} Ens_{Rel} \end{eqnarray*}$ wird Retraktion in $\begin{eqnarray*} (Ens_{Rel})^{op} \end{eqnarray*}$ .

Aus überall definiert (bzw. linkstotal) wird surjektiv.

Aus injektiv wird funktional.

Aber was meint die Aufgabe wohl damit, dass man mittels des kontravarianten Isomorphismus dualisieren soll, wo kommt der hier eigentlich ins Spiel...

03.12.2011, 17:54

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Def. lässt sich ja übertragen.
Was bedeutet das $\begin{eqnarray*} R^* \end{eqnarray*}$ denn genau? Das Stern steht oft für dualisiern.
Wobei ich jetzt hier anfange zu raten was die Aufgabenstellung sein soll.

Und der Versuch sieht gut aus.

03.12.2011, 18:03

Gast11022013

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Ich kann das leider nicht beantworten, da der Zettel dazu nichts sagt.

Ich nehme aber an, daß $\begin{eqnarray*} R^{*} \end{eqnarray*}$ einfach nur die Relation ist, die im Gegensatz zu $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ in die "andere Richtung zeigt".

Also, wie gesagt, grundsätzlich ist mir jetzt klar, was mit "dualisieren" gemeint ist, jedoch weiß ich nicht, wieso da mittels.... steht.

Und der Zettel liefert dazu keine Infos.

-----------------------------------------

Wie würde man denn folgende Aussage dualisieren, die ich schon bewiesen habe:

"Für eine Relation $\begin{eqnarray*} R: A\rightharpoondown B \end{eqnarray*}$ gilt: R ist monomorph $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ R ist überall definiert."

Meine Idee wäre:

"Für eine Relation $\begin{eqnarray*} R: B\rightharpoondown A \end{eqnarray*}$ (in $\begin{eqnarray*} (Ens_{Rel})^{op} \end{eqnarray*}$ ) gilt:
R ist epimorph $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ R ist rechtstotal (bzw. surjektiv)."

03.12.2011, 18:09

galoisseinbruder

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Zum Oberen:
Im zweifelsfall Aufgabensteller befragen.

Zum Unteren:
das wär auch meine Idee.

03.12.2011, 18:42

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, da werde ich wohl nochmal nachfragen müssen, wie das zu verstehen ist.
--------------

So, bleibt schließlich noch die Aussage zu dualisieren, die ich vorhin bewiesen hatte, also diejenige mit $\begin{eqnarray*} R:=2\to\left\{a,b,c\right\} \end{eqnarray*}$ .

Das fällt mir wieder schwerer.

Meine Idee wäre hier:

Die Relation $\begin{eqnarray*} R: \left\{a,b,c\right\}\to \left\{0,1\right\}=2 \end{eqnarray*}$ (a,b,c 3 verschiedene Elemente) definiert als

$\begin{eqnarray*} R:=\left\{(a,0), (b,0), (b,1), (c,1)\right\} \end{eqnarray*}$ ist Retraktion, aber nicht funktional. Eine zugehörige Coretraktion ist

$\begin{eqnarray*} T:\left\{0,1\right\}\to\left\{a,b,c\right\} \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} T:=\left\{(0,a), (1,c)\right\} \end{eqnarray*}$ .

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