Elementargeometrie: Beweis |
| 30.06.2004, 16:32 | Billi | Auf diesen Beitrag antworten » |
Elementargeometrie: Beweis
Ich werde voll nicht schlau aus diesem Beweis! Also: In einem Kreis halbiere der Durchmesser AB die Sehne CD. Eine weitere Sehne AQ schneide CD in P. Beweisen Sie: Dann hat der Ausdruck AP * AQ unabhängig von der Lage von P stets denselben Wert. Hat da vielleicht jemand ne Idee? |
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| 30.06.2004, 17:45 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi, bezeichne den Mittelpunkt der Sehne CD mit M und die Strecke MP mit x, welche ja variabel ist. CP ist dann s + x, PD = s - x Beachte: Die Strecke AM ist konstant! Dann gilt nach dem Sehnensatz: AP.PQ = CP.PD AP.PQ = (s + x).(s - x) AP.PQ = s² - x² PQ wird durch AQ - AP ersetzt AP.(AQ - AP) = s² - x² AP.AQ - AP² = s² - x² lt. Pythagoras ist AP² = AM² + x², einsetzen AP.AQ - AM² - x² = s² - x² | +x² (die variable Strecke x hebt sich auf) AP.AQ = s² + AM² = AD² (oder AC²), jedenfalls konstant, was zu zeigen war! Gr mYthos |
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