Stetigkeit mit Delta-Epsilon

03.12.2011, 18:03

maquart

Stetigkeit mit Delta-Epsilon

Meine Frage:
Hallo ich soll die Stetigkeit von f(x)=x falls x irrational, f(x)=1-x falls x rational
Meine Ideen:
Also ich hab das mit der Delta-Epsilon Definition versucht, aber die liefert immer die Stetigkeit der Funktion, ist das richtig. Irgendwie kommt mir das komisch vor...

03.12.2011, 19:03

pseudo-nym

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RE: Stetigkeit mit Delta-Epsilon

Zitat:

Original von maquart
Hallo ich soll die Stetigkeit von f(x)=x falls x irrational, f(x)=1-x falls x rational

Du maquart, kann ich 'n Prädikat?

Auch wenn es hier nicht viele sinnvolle Interpretationen gibt, gehört zu jeder Funktion mindestens ein Definitionsbereich.

Auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist dein f außerdem nicht stetig.

03.12.2011, 22:04

ray.montag

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@pseudo-nym: Könntest du vielleicht erklären, warum f auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ nicht stetig ist? Ich komme mit dem Stetigkeitsbegriff nämlich noch nicht so ganz zurecht...

Edit: Die Aufgabe ist denke ich falsch zitiert, wenn es die ist, die ich gerade bearbeite: Es soll untersucht werden, in welchen Punkten $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ die Funktion stetig ist mit $\begin{eqnarray*} f(x):=x,x\in\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x):=1-x,x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$

03.12.2011, 23:06

pseudo-nym

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Wenn du Folgenstetigkeit schon kennst und weißt, dass diese auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ äquivalent zu Stetigkeit ist, kannst du versuchen zwei relle Folgen zu konstruieren, die gegen den selben Grenzwert konvergieren, deren Bilder dies aber nicht tun.

Wenn du die $\begin{eqnarray*} \epsilon-\delta \end{eqnarray*}$ -Definition der Stetigkeit verwenden willst, würde ich erst versuchen Stetigkeit an einem Punkt zu überprüfen.

Vesuche z.B. zu zeigen, dass f an der Stelle eins nicht stetig ist.

04.12.2011, 13:35

ray.montag

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Also ich muss es wohl mit dem Delta-Epsilon machen, da mir der erste Ansatz gar nichts sagt/ich es nicht in der Vorlesung hatte. Du sagtest, die Funktion ist nicht stetig, aber müsste sie nicht stetig sein in $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ?

04.12.2011, 14:07

pseudo-nym

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f ist nicht stetig auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass f nicht an jedem Punkt der reellen Zahlen stetig ist.

Das f ist nicht steig auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn es ein $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt, sodass f nicht stetig an der Stelle x ist.

Ich habe allerdings nicht behauptet, dass an f jeder Stelle unstetig ist.
Dies ist übrigends unabhängig von der Frage ob man man Teilmengen von $\begin{eqnarray*} A \subseteq\mathbb R \end{eqnarray*}$ finden kann, sodass $\begin{eqnarray*} f : A \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig wird.
In der Tat ist z.B. $\begin{eqnarray*} f : \{ x \} \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig.

04.12.2011, 14:15

ray.montag

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Könntest du vllt. beispielhaft zeigen, warum f an der Stelle 1 nicht stetig ist? Ich stehe gerade ein bisschen aufm Schlauch.

04.12.2011, 14:43

pseudo-nym

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Beachte, dass sowohl $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} \mathbb R \backslash \mathbb Q \end{eqnarray*}$ dicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sind.

04.12.2011, 15:01

ray.montag

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Lapidar gesagt: Geht es darum, dass eine rationale Zahl eine irrationale als "Nachbarn" auf dem Zahlenstrahl hat?

04.12.2011, 15:25

pseudo-nym

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Ein wenig präziser gesagt, meine ich, dass jeder Delta-Ball welcher die 1 enthält auch irrationale Zahlen beinhaltet.

04.12.2011, 16:13

ray.montag

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So langsam glaube ich zu wissen, auf was du hinaus willst. Aber was ist ein Delta-Ball? Ich höre erst Analysis I...

04.12.2011, 16:25

pseudo-nym

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Damit meine ich nur die Menge $\begin{eqnarray*} B_\delta (1) = \{ x : \vert x - 1 \vert < \delta \} \end{eqnarray*}$ also alle reellen Zahlen mit Abstand von 1 kleiner $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ , welche du nach der Definition von Stetigkeit finden sollen könntest, sodass das Bild dieser Menge höchstens Epsilon von $\begin{eqnarray*} f(1) \end{eqnarray*}$ entfernt ist.

Formal auch geschrieben als
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 : f(B_\delta (1)) \subseteq B_\epsilon (f(1)) \end{eqnarray*}$

Edit:
Das ist jetzt vielleicht ein wenig verwirrend und eigentlich auch nicht so wichtig. Ich meine lediglich, dass du egal wie klein du deine Umgebung um 1 wählst in dieser immer irrationale Zahlen finden wirst.

04.12.2011, 16:32

ray.montag

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Achso, ok, dass verstehe ich. In B sind auch irrationale Zahlen und deshalb ist f in 1 nicht stetig. Bleibt nur noch die Frage offen, ob es reelle Zahlen gibt, in denen f stetig ist. Ich meine aufgrund deines Beispiels nicht.

04.12.2011, 16:42

pseudo-nym

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Zitat:

Original von ray.montag
In B sind auch irrationale Zahlen und deshalb ist f in 1 nicht stetig.

Das reicht nicht als Beweis und muss ausgeführt werden.

04.12.2011, 16:49

ray.montag

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Hat es was damit zu tun, dass sich jede reelle Zahl beliebig genau durch eine rationale Zahl approximieren lässt?

04.12.2011, 16:53

pseudo-nym

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Nein, das hilft nicht.

Du musst die Epsilon-Delta Definition anwenden.

Eventuell kannst du je einmal ein paar konkrete Epsilon auswählen und versuchen eine geeignete Deltaumgebung zu finden.

Nimm z.B. mal $\begin{eqnarray*} \epsilon = 4, 3, 2, 1 \end{eqnarray*}$

04.12.2011, 17:19

ray.montag

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Muss gelten $\begin{eqnarray*} \varepsilon = \delta \end{eqnarray*}$ ? Denn wenn das Delta größer als Epsilon wäre, könnte ich ja ein x wählen, dass der Ungleichung mit Epsilon nicht mehr genügen würde, oder?

04.12.2011, 19:33

pseudo-nym

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Nein, das ist falsch. Nehmen wir z.B. mal $\begin{eqnarray*} \epsilon = 4 \end{eqnarray*}$ .
Wenn du nun $\begin{eqnarray*} \delta = 4 \end{eqnarray*}$ wählst, ist die Implikation
$\begin{eqnarray*} \forall x (\vert x - 1 \vert < \delta \rightarrow \vert f(x) - 1 \vert < \epsilon) \end{eqnarray*}$
nicht erfüllt.

Denn:
Da $\begin{eqnarray*} \mathbb R \backslash \mathbb Q \end{eqnarray*}$ dicht in der reellen Zahlen und ist, gibt es eine irrationale Zahl x mit $\begin{eqnarray*} x \in (4, 5) \end{eqnarray*}$ . Zeige nun
a) $\begin{eqnarray*} \vert x - 1 \vert < \delta \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} \vert f(x) - 1 \vert \geq \epsilon \end{eqnarray*}$

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