Verständnisfrage: Lineare Hülle/Erzeugnis/Erzeugendensystem

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liebe_Maus Auf diesen Beitrag antworten »
Verständnisfrage: Lineare Hülle/Erzeugnis/Erzeugendensystem
Hallo liebe Mathefreunde smile

Ich hab in Lineare Algebra den Totalen Überblick verloren traurig

Kann mir bitte jemand den Unterschied zwischen Lineare Hülle/Erzeugnis und Erzeugendensystem erklären.
Vielleicht auch mit ein paar (Zahlen)Beispielen die helfen können und besser ohne Matrizenrechnung, da wir sie noch nicht behandelt haben.

Das wäre echt suuuuuuuuuuper lieb von euch wenn ihr mir helfen könntet Gott

lg
eure liebe_Maus
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verständnisfrage: Lineare Hülle/Erzeugnis/Erzeugendensystem
Die Lineare Hülle von Vektoren ist die Menge der Linearkombinationen.

Ein Erzeugendensystem ist eine Menge von Vektoren, die einen Vektorraum aufspannen. Die lineare Hülle dieses Erzeugendensystems ist der Vektorraum, der von den erzeugenden Vektoren aufgespannt wird.

Nehmen wir einemal ein Beispiel:

Wir haben die Vektoren (0,1,1,0), (0,1,0,1), (0,1,1,2) aus dem IR^4. Diese Vektoren spannen einen Untervektorraum des IR^4 auf, sie bilden also ein Erzeugendensystem.

Das erzeugendensystem ist die Menge der Vektoren, also .

Der Unterraum, der von ihnen aufgespannt wird ist die lineare Hülle der Vektoren, also . Diese Menge enthält alle Vektoren, die sich als Linearkombination der drei Vektoren darstellen lassen.
liebe_Maus Auf diesen Beitrag antworten »

Hi lgrizu,
ich danke dir für deine verständliche Antwort Freude

Dazu aber noch ein paar Fragen:

Ist das richtig, das die Vektoren in einem Erzeugendensystem erzeugende Vektoren genannt werden?

Ist das auch richtig dass das Erzeugnis ein und das selbe wie die Lineare Hülle ist, also ob Erzeugnis = Lineare Hülle?

Ist das genauso richtig das die Lineare Hülle alle Vektoren enthält, die sich als Linearkombination des Erzeugendensystem darstellen lässt?

Wenn wir noch ein weiteres Bespiel heran ziehen, wäre es dann richtig
wenn man die Menge als ein Erzeugendensystem bezeichnet
wäre dann die Lineare Hülle von dem ?

Das heißt letztendlich das ist ein Erzeugendensystem von wäre und die Lineare Hülle von ist dann der

Sry, das ich dich gerade mit Fragen durchbohre, aber ich bin gerade in diesem Ordnungsprozess smile

lg
liebe_Maus
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von liebe_Maus
Ist das richtig, das die Vektoren in einem Erzeugendensystem erzeugende Vektoren genannt werden?

Jap, bzw. Erzeuger des Vektorraums.

Zitat:
Original von liebe_Maus
Ist das auch richtig dass das Erzeugnis ein und das selbe wie die Lineare Hülle ist, also ob Erzeugnis = Lineare Hülle?

Auch richtig.

Zitat:
Original von liebe_Maus
Ist das genauso richtig das die Lineare Hülle alle Vektoren enthält, die sich als Linearkombination des Erzeugendensystem darstellen lässt?

So ist sie definiert (das Erzeugnis im übrige auch).


Die Menge der Einheitsvektoren sind ein Erzeugendensystem des IR³ (sogar ein minimales, also eine Basis). Ist richtig.
liebe_Maus Auf diesen Beitrag antworten »

Ein super dickes dankeschön von mir Mit Zunge

Jetzt ist alles mir viel viel Klarer Freude

lg
liebe_Maus smile
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