Untervektorraum, Isomorphismus von graph(L)

10.01.2007, 15:51

chris85

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Untervektorraum, Isomorphismus von graph(L)

Hey,
Habe hier eine Aufgabe, kann sie aber alleine nicht lösen.Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Sei $\begin{eqnarray*} f:M \to N \end{eqnarray*}$ Abbildung. Dann ist der Graph von f, $\begin{eqnarray*} \ graph \ (f) := \{\ (x,f(x)) | x \in M \}\ \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ein Körper und $\begin{eqnarray*} L:K^n \to K^m \end{eqnarray*}$ eine Abbildung.
Zeigen Sie:

(a) L linear $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \ graph\ (L) \subseteq K^{n+m} \end{eqnarray*}$ ist Untervektorraum.
(b) Ist L linear,so ist $\begin{eqnarray*} \widetilde{L} : K^n \to K^{n+m} \end{eqnarray*}$ , definiert durch $\begin{eqnarray*} \widetilde{L} = (x,L(x)) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in K^n \end{eqnarray*}$ , ein Isomorphismus von K^n auf $\begin{eqnarray*} \ graph\ (L) \end{eqnarray*}$ .

Um einen Untervektorraum zu zeigen muss man doch zeigen dass folgende Bedingungen erfüllt sind:
(1) $\begin{eqnarray*} 0 \in U \end{eqnarray*}$
(2) für alle $\begin{eqnarray*} x,y \in U \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} x+y \in U \end{eqnarray*}$ (Abgeschlossenheit der Vektoraddition)
(3) Für alle $\begin{eqnarray*} x \in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \in K \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} x*a \in U \end{eqnarray*}$

Wie mache ich das aber hier?Kann mir bitte jemand helfen? Danke

10.01.2007, 18:36

ArminTempsarian

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RE: Untervektorraum, Isomorphismus von graph(L)
zu a)

Ich denke so ähnlich dürfte das aussehen:

angenommen $\begin{eqnarray*} L: K^n \rightarrow K^m \end{eqnarray*}$ ist eine lineare Abb., dann gilt für $\begin{eqnarray*} x, y \in K^n \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} L(x +y) = L(x) + L(y) \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} Graph(L) := \{ (x, L(x)): x \in K^n \} \end{eqnarray*}$ gilt dann:

$\begin{eqnarray*} (x, L(x)) + (y, L(y)) = (x + y, L(x) + L(y)) = (x + y, L(x + y)) \end{eqnarray*}$

wobei die Tupel $\begin{eqnarray*} (v, L(v)) \in K^{m + n} \end{eqnarray*}$

Wenn man das auch noch für die skalare Multiplikation zeigt, hat man mal die Hinrichtung. Rückrichtung dürfte ähnlich funktionieren.

Gruß Armin

10.01.2007, 19:05

chris85

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Was meinst du damit?wie bist du darauf gekommen?ist das hier notwendig?

wobei die Tupel $\begin{eqnarray*} (v, L(v)) \in K^{m + n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L: K^n \rightarrow K^m \end{eqnarray*}$ ist eine lineare Abb., dann gilt für $\begin{eqnarray*} x \in K^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \in K^{n+m} \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} L(x*a) = L(x) * L(a) \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} Graph(L) := \{ (x, L(x)): x \in K^n \} \end{eqnarray*}$ gilt dann:

$\begin{eqnarray*} (x, L(x)) * (a, L(a)) = (x * a, L(x) * L(a)) = (x * a, L(x * a)) \end{eqnarray*}$

Ist das für die Multiplikation so okay?

Wie sieht denn der Rückweg aus? Könntest du mir da vllt auch ein Bsp. geben? Wäre toll!Danke schon mal!

10.01.2007, 19:14

tim3k

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a ist nur ein skalar, da kannst du L nicht ausführen besser:
zeige: (ax,L(ax))=a(x,L(x))

10.01.2007, 19:42

chris85

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Du meinst so?

$\begin{eqnarray*} L: K^n \rightarrow K^m \end{eqnarray*}$ ist eine lineare Abb., dann gilt für $\begin{eqnarray*} x \in K^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \in K^{n+m} \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} L(x*a) = L(x) * L(a) \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} Graph(L) := \{ (ax, L(ax)): x \in K^n \} \end{eqnarray*}$ gilt dann:

$\begin{eqnarray*} (ax, L(ax))=a(x,L(x))=(ax,L(x)*L(a)) \end{eqnarray*}$

Weiß nicht ob das jetzt so stimmt.
Könntest du mich bitte verbessern wenn es falsch ist?

10.01.2007, 19:55

ArminTempsarian

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Nein.

$\begin{eqnarray*} Graph(L) \end{eqnarray*}$ ist ein Unterraum von $\begin{eqnarray*} K^{m + n} \end{eqnarray*}$ , wenn gilt:

für $\begin{eqnarray*} (x, L(x)), (y, L(y)) \in K^{m + n} \end{eqnarray*}$ ist auch $\begin{eqnarray*} (x, L(x)) + (y, L(y)) \in K^{m + n} \end{eqnarray*}$

und für $\begin{eqnarray*} (x, L(x)) \in K^{m + n} , a \in K \end{eqnarray*}$ ist auch $\begin{eqnarray*} a*(x, L(x)) \in K^{m + n} \end{eqnarray*}$ . D.h. a ist ein Skalar, kein Vektor, auf den du L anwenden könntest.

Da $\begin{eqnarray*} x \in K^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} L(x) \in K^m \end{eqnarray*}$ , ist das Tupel (das geordnete Paar) $\begin{eqnarray*} (x, L(x)) \in K^{m + n} \end{eqnarray*}$ .

Wie oben angedeutet, musst du zum Beweis, dass aus der Linearität von L die Unterraumeigenschaft von Graph(L) folgt, entscheidend die Linearität nutzen, also dass L(x+y) = L(x) + L(y) und dass L(ax) = aL(x).

Gruß Armin

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10.01.2007, 20:18

chris85

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$\begin{eqnarray*} L: K^n \rightarrow K^m \end{eqnarray*}$ ist eine lineare Abb., dann gilt für $\begin{eqnarray*} x \in K^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \in K^{n+m} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} Graph(L) := \{ (ax, L(ax)): x \in K^n \} \end{eqnarray*}$ gilt dann:

$\begin{eqnarray*} (ax, L(ax))=a(x,L(x))) \end{eqnarray*}$

ist das so richtig für die Multipl.?

10.01.2007, 20:54

ArminTempsarian

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Nochmal:

a ist ein Skalar, d.h.

$\begin{eqnarray*} a \in K \end{eqnarray*}$ !

$\begin{eqnarray*} a \notin K^{m + n} \end{eqnarray*}$ !

und du musst zeigen, dass für $\begin{eqnarray*} a \in K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in K^{m + n} \end{eqnarray*}$ gilt, dass $\begin{eqnarray*} a*(x, L(x)) \end{eqnarray*}$ ebenfalls in $\begin{eqnarray*} K^{m + n} \end{eqnarray*}$ liegt.

Gruss Armin

Edit: Die letzte Zeile stimmt so, wenn du noch erklären kannst, wieso du das a "herausziehen" kannst. Entscheidend ist dabei nämlich der (von dir unterschlagene) Zwischenschritt.

10.01.2007, 21:35

chris85

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Das habe ich jetzt kapiert.
Also ich weiß nicht was das für ein Zwischenwert ist, ich sehe keine andere Möglichkeit wie ich noch umformen kann.
Kannst du mir ihn nennen?

10.01.2007, 21:43

ArminTempsarian

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Is schon richtig. Ich meinte nur, man sollte besser schreiben:

$\begin{eqnarray*} (ax, L(ax)) = (ax, aL(x)) = a(x, L(x)) \end{eqnarray*}$

weil man da genau sieht, wo man die Linearität von L benutzt hat.

Gruß Armin

10.01.2007, 21:51

chris85

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Achso hast du das gemeint.
Somit wäre dann die Hinrichtung fertig.
Ich denke dass man wol auch eine Rückrichtung machen muss,oder?

Eigentlich kann ich doch dazu das ganze einfach vom Ende zum Anfang, also gerade Rückwärts nochmal abschreiben oder?

10.01.2007, 22:07

ArminTempsarian

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Na ja, nicht wirklich.

Du hast doch bei der Hinrichtung entscheidend von der Linearität von $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ Gebrauch gemacht. Bei der Rückrichtung sollst du aber erst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ - unter der Annahme, dass der $\begin{eqnarray*} Graph(L) \end{eqnarray*}$ ein Unterraum von $\begin{eqnarray*} K^{m+n} \end{eqnarray*}$ ist - linear ist.

Gruß Armin

10.01.2007, 22:18

chris85

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Hmm ja du hast wohl recht. Aber wie soll ich dann da anfangen?
Mit Linearität kann ich also nicht beginnen. Also dann irgendwie mit dem graph(L). Nur wie?

10.01.2007, 22:41

ArminTempsarian

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Zitat:

Mit Linearität kann ich also nicht beginnen. Also dann irgendwie mit dem graph(L).

Richtig.

Du beginnst mit der Tatsache, dass $\begin{eqnarray*} Graph(L) \end{eqnarray*}$ ein Teilraum von $\begin{eqnarray*} K^{n + m} \end{eqnarray*}$ ist.

Die Elemente von $\begin{eqnarray*} Graph(L) \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} (x, L(x)) \end{eqnarray*}$ .

Das sind geordnete Paare von $\begin{eqnarray*} x \in R^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} L(x) \in R^m \end{eqnarray*}$ , insgesamt also n+m Tupel.

Wenn $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ die i-te Komponente bezeichnet, sind das also Vektoren, die so aussehen: $\begin{eqnarray*} (x_1, x_2, ...., x_n, x_{n+1}, ... x_{n + m}) \end{eqnarray*}$

Aus der Unterraumeigenschaft von $\begin{eqnarray*} Graph(L) \end{eqnarray*}$ folgt nun für 2 beliebige solche Elemente, dass die Summe ebenfalls Element von $\begin{eqnarray*} Graph(L) \end{eqnarray*}$ ist, ebenso für Skalare.

Zur Erinnerung: zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray*} L(x + y) = L(x) + L(y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} L(ax) = aL(x) \end{eqnarray*}$ für skalares a.

Gruß Armin

10.01.2007, 23:03

chris85

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Hey Armin,

Kann man das ganze dann in Worten schreiben,so wie du es z.B. gemacht hast? und eben noch

"Zur Erinnerung: zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray*} L(x + y) = L(x) + L(y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} L(ax) = aL(x) \end{eqnarray*}$ für skalares a."

vollständig aufschreiben?

Gruß Chris

10.01.2007, 23:45

ArminTempsarian

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Ich hab nur noch nichts gezeigt! Big Laugh

Big Laugh

Ich hab nur die Fakten auf den Tisch gelegt. Dass aus diesen Fakten folgt, dass L linear ist, muss erst argumentiert werden.

Schreib doch mal konkret auf, was passiert, wenn man 2 Elemente aus $\begin{eqnarray*} Graph(L) \end{eqnarray*}$ addiert.

Gruß Armin

11.01.2007, 00:02

chris85

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Das wäre doch dann das hier, was wir auf dem Hinweg schon gezeigt haben oder?
$\begin{eqnarray*} (x, L(x)) + (y, L(y)) = (x + y, L(x) + L(y)) = (x + y, L(x + y)) \end{eqnarray*}$

11.01.2007, 00:16

ArminTempsarian

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Die Frage ist: Wie begründest du das letzte Gleichheitszeichen?

Gruß Armin

11.01.2007, 00:25

chris85

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Das wäre doch dann mit der Linearität begründet oder etwa nicht?

Was hättest du jetzt vorgeschlagen?

Gruß

11.01.2007, 00:30

20_Cent

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eben nicht, denn die musst du ja zeigen Augenzwinkern

Augenzwinkern

mfG 20

11.01.2007, 00:32

chris85

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Und womit ist es dann begründet?
Wie zeige ich das dann?

Lg

11.01.2007, 01:21

ArminTempsarian

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$\begin{eqnarray*} Graph(L) := \{(v, L(v)) | v \in K^n\} \end{eqnarray*}$

nimm $\begin{eqnarray*} z:= x + y \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} z \in K^n \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} (z, L(z)) \end{eqnarray*}$ Element des Graphen von L.

Was heißt das nun gemeinsam mit der Tatsache, dass $\begin{eqnarray*} (x + y, L(x) + L(y)) \end{eqnarray*}$ Element des Graphen ist?

Gruß Armin

11.01.2007, 01:32

chris85

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Das heißt dass: $\begin{eqnarray*} (x + y + z, L(x) + L(y) + L(z)) \end{eqnarray*}$ auch ein Element des Graphen ist! Stimmt doch oder? und damit wäre das also bewiesen.

Das muss man dann wohl noch für die Multiplikation zeigen und das wärs dann gewesen oder?

LG Chris

11.01.2007, 01:47

ArminTempsarian

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Das stimmt zwar aber damit hast du nur gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} (2(x + y), 2(L(x) +L(y))) = 2(x + y, L(x) + L(y)) \end{eqnarray*}$ Element des Graphen ist (wieso?), was wir aber sowieso schon wussten, da ja $\begin{eqnarray*} Graph(L) \end{eqnarray*}$ ein Unterraum ist.

Wir sollen aber die Linearität von L nachweisen. Beachte, wie z definiert wurde und schreibe dann $\begin{eqnarray*} (z, L(z)) \end{eqnarray*}$ explizit an.

Gruß Armin

EDIT: Ich muss mich korrigieren: Du hast gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} (2(x + y), L(x + y) + L(x) + L(y)) \end{eqnarray*}$ Element des Graphen ist.

11.01.2007, 01:59

chris85

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Ich komme nicht mehr drauf verwirrt

verwirrt

Könntest du es mir aber bitte trotzdem verraten?
Ich brauch es doch morgen schon.

Gruß
Chris

11.01.2007, 02:15

ArminTempsarian

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Es ist trivialerweise $\begin{eqnarray*} (x + y, L(x + y)) \end{eqnarray*}$ Element des Graphen für $\begin{eqnarray*} x, y \in K^n \end{eqnarray*}$ .

Wegen der Unterraumeigenschaft von $\begin{eqnarray*} Graph(L) \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} (x, L(x)) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (y, L(y)) \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} (x + y, L(x) + L(y)) \end{eqnarray*}$ Elemente des Graphen.

Da $\begin{eqnarray*} Graph(L):= \{(u, L(u)) | u \in K^n\} \end{eqnarray*}$ und L eine eindeutige Zuordnung ist, gilt:

$\begin{eqnarray*} x + y \mapsto L(x + y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x + y \mapsto L(x) + L(y) \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} L(x + y) = L(x) + L(y) \end{eqnarray*}$

Für Skalare funktioniert das analog.

Werd mich jetzt in die Falle hauen.

Gruß Armin

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