Basis, Linearform L bestimmen

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chris85 Auf diesen Beitrag antworten »
Basis, Linearform L bestimmen
Hallo,

Sei [latex]v_1 = (1,1,0) , v_2 = (1,1,1) , v_3 = (0,1,1) [/latex] und [latex]B = \{\ v_1,v_2,v_3 \}\[/latex]

(a) Zeigen Sie: B ist Basis der [latex]\mathbb R^3[/latex]

(b) Es existiert genau eine Linearform [latex]L \in Hom(\mathbb R^3, \mathbb R)[/latex] mit [latex]L(v_1=1,L(v_2)=2,L(v_3)=3[/latex]
Berechnen Sie [latex]L(e_1),L(e_2),L(e_3)[/latex] und stellen Sie [latex]L[/latex] in folgender Form dar: [latex]L(x_1,x_2,x_3)=a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3[/latex]

Bei (a) muss ich doch zeigen dass die Vektoren linear unabhängig und ein Erzeugendensystem sind. Da aber ein Erzeugendensystem linear unabhänig sein muss reicht es die lineare Unabhängigkeit zu zeigen.

Stimmt meine Überlegung? Könnte mir jemand bei der Aufgabe helfen?Mir vllt mit dem Ansatz helfen?
Danke
tim3k Auf diesen Beitrag antworten »

hi B ist Basis wenn ihre Vektoren eine maximal linear unabhängige Menge bilden
damit sind 3 lineaer unabhängige vektoren eine maximal l.u. Menge im R3
 
 
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis, Linearform L bestimmen
Zitat:
Original von chris85
Da aber ein Erzeugendensystem linear unabhänig sein muss, reicht es, die lineare Unabhängigkeit zu zeigen.


Das stimmt nicht! Ein Erzeugendensystem kann durchaus linear abhängig sein. Die Bedingung ist, das es den Vektorraum vollständig aufspannt. Sieh dir noch einmal die Definition an.

gruss yeti
chris85 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja du hast Recht mit dem Erzeugendensys.
Wie kann ich das mit der Basis denn jetzt zeigen?
Könntest du mir einen Ansatz geben?
tim3k Auf diesen Beitrag antworten »

ja aber eine basis ist nicht irgend ein erzeugendes system sonderen ein minmales erzeugendes system und das ist das selbe wie die maximale Menge linear unabhängiger vektoren
also 3 linear unabhängige vektoren bilden basis des R3, das die maximale Menge l.u. Vektoren sind lässt sich leicht am auftreten LGS erklären
gruß tim
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst 2 Sachen zeigen:

1. Die 3 gegebenen Vektoren sind linear unabhängig (siehe Def. für lineare Unabhängigkeit)

2. Die 3 gegebenen Vektoren spannen den [latex]\mathbb R ^3[/latex] auf (nimm einen beliebigen Vektor des [latex]\mathbb R ^3[/latex] und zeige, dass er durch eine Linearkombination der 3 gegebenen Vektoren dargestellt werden kann).

Gruss yeti
chris85 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich das so machen:

[latex]v_1=(1,1,0) , v_2=(1,1,1) , v_3=(0,1,1) , B=\{\ v_1,v_2,v_3 \}\[/latex]
[latex]a(1,1,0)+b(1,1,1)+c(0,1,1)=0[/latex]

[latex]\to   a_1+b_1+c_1=0[/latex]
[latex]       a_2+b_2+c_2=0[/latex]
[latex]       a_3+b_3+c_3=0[/latex]

[latex]\to  a+b =0[/latex]
[latex]      a+b+c =0[/latex]
[latex]      b+c =0[/latex]

[latex]\to  a+b =0[/latex]
[latex]      c=0[/latex]
[latex]      b+c=0[/latex]

[latex]\to  b=0[/latex]
[latex]\to  a=0[/latex]

[latex]\to[/latex] linear unabhängig
[latex]\to[/latex] Basis des[latex] \mathbb R^3[/latex]

Ist das so richtig? Falls nicht wie macht man es dann?
tim3k Auf diesen Beitrag antworten »

ja und dann doch erwähnen das 3 linear unabhängige vektroen eine maximal linear unabhängige menge des r3 sind
evtl am LGS erklären
gruss tim
chris85 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kann man das am LGS zeigen?

Wie funktioniert die (b)? Hättest du da eine Idee oder einen Ansatz für mich?

Gruß Chris
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von chris85
Wie kann man das am LGS zeigen?

Gruß Chris


Seien [latex]\vec{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\,\,\vec{v_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} ,\,\,\vec{v_3} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \in \mathbb R ^3 [/latex] und [latex]\alpha_1,\,\,\alpha_2,\,\,\alpha_3\,\,\in \mathbb R [/latex]. Zu zeigen ist:
[latex]\sum_{k=1}^3~\alpha_i \vec{v_i} = \vec{o}\Rightarrow \alpha_i= 0 \,\,\text{für }i= 1,\,\,2,\,\,3 [/latex]. In Matrixdarstellung lautet dies: [latex]\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1  \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/latex]. Das ist ein LGS und zu zeigen ist, dass es nur die Nulllösung hat (gleichbedeutend mit [latex]\text{det A} \neq 0 [/latex] oder [latex]\text{Kern A}= \vec{o} [/latex]). Ist es das, was du meintest?

Gruss yeti

Edit1, Tipp für b): Zu bestimmen sind die [latex]a_i,\,\,i= 1,\,\,2,\,\,3 [/latex]. Die [latex]x_1,\,\,x_2,\,\,x_2 [/latex] sind die Komponenten der jeweiligen Vektoren. Wenn du die in die Linearform einsetzest, erhältst du wiederum ein LGS, das du nach [latex]a_i,\,\,i= 1,\,\,2,\,\,3 [/latex] auflösen kannst.
chris85 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das meinte ich, hab mir das aber so ähnlih vorgestellt.

Kannst du mir vllt noch erklären wie ich das bei der (b) machen muss?
Ich weiß nicht so recht wie das gehen soll.
wäre voll nett!
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist passiert. Siehe mein "Edit1". War am Tippen und "Chnorzen" mit LaTeX!

Gruss yeti

Nachtrag: Für das LGS hast du wieder dieselbe Matrix, wie oben angegeben. Nur die rechte Seite des LGS ändert!
chris85 Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du so:

[latex]x_1(1,1,0)+x_2(1,1,1)+x_3(0,1,1)=0[/latex]

[latex]x_1+x_2+0 = 0 \\ x_1+x_2+x_3 = 0 \\ 0+x_2+x_3 = 0[/latex]

Und wie dann weiter? Weiter blick ich es dann nicht mehr. Kannst du mir weiterhelfen?
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von yeti777
Du musst 2 Sachen zeigen:

1. Die 3 gegebenen Vektoren sind linear unabhängig (siehe Def. für lineare Unabhängigkeit)

2. Die 3 gegebenen Vektoren spannen den [latex]\mathbb R ^3[/latex] auf (nimm einen beliebigen Vektor des [latex]\mathbb R ^3[/latex] und zeige, dass er durch eine Linearkombination der 3 gegebenen Vektoren dargestellt werden kann).

Gruss yeti


3 linear unabhängige Vektoren sind im [latex]\mathbb R^3[/latex] ein Maximales System linear unabhängiger Vektoren und damit automatisch eine Basis. Es reicht also 1. zu zeigen.
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »

@Sunwater: Du hast völlig Recht!

@Chris: Nicht ganz! Gesucht ist eine Linearform (das hatten wir schon). Das Bild von [latex]\vec{v_1}[/latex] muss [latex]1[/latex] sein, also [latex]L(\vec{v_1}) = 1 \Rightarrow a_1\cdot 1+ a_2\cdot 1+a_3\cdot 0= 1[/latex]. Das ist die erste Gleichung. Kannst du jetzt die zweite und die dritte aufstellen?
chris85 Auf diesen Beitrag antworten »

So vielleicht?

[latex]L(\vec{v_1}) = 1 \Rightarrow a_1\cdot 1+ a_2\cdot 1+a_3\cdot 0= 1[/latex]
[latex]L(\vec{v_2}) = 2 \Rightarrow a_1\cdot 1+ a_2\cdot 1+a_3\cdot 1= 2[/latex]
[latex]L(\vec{v_3}) = 3 \Rightarrow a_1\cdot 0+ a_2\cdot 1+a_3\cdot 1= 3[/latex]

Und was nun?
chris85 Auf diesen Beitrag antworten »

Und daraus folgt doch dann dass [latex]a_1=-1 , a_2=2 , a_3=1[/latex] ist.

Das habe ich jetzt mittlerweile auch!
[latex]L(x_1,x_2,x_3)=a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 + x_3[/latex]


Aber was sind [latex]L(e_1),L(e_2),L(e_3)[/latex]?
Aus was bestehen sie?
Kann mir das jemand erklären?
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Chris!

Die vorgelegte Linearform ist eine Abbildung [latex]L: \mathbb R ^3->\mathbb R [/latex] mit [latex]L: \mathbb R ^3->\mathbb R [/latex]mit [latex]\vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} [/latex] und [latex]L(\vec{x} )= a_1x_1+ a_2x_2+ a_3x_3[/latex]. Wenn du jetzt die kanonischen Einheitsvektoren einsetzest, erhältst du der Reihe nach [latex]a_1,\,\,a_2,\,\,a_3 [/latex]. Versuch es!

Def. der Linearform zB hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Linearform

Wenn du hier durch bist, solltest du aber noch zeigen, dass es genau eine solche Linearform gibt, wie es in der Aufgabenstellung verlangt ist.

Gruss yeti
chris85 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kapier das nicht. Kannst du mir das mal im Ansatz zeigen?
Was sieht der kanonische Einheitsvektor aus? es ist doch bestimmt [latex]e[/latex] gemeint oder?
Oh bin jetzt ganz verwirrt.
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Chris!

Tut mir leid, dass ich dich verwirrt habe. Geschah sicher nicht mit Absicht. Nun mal der Reihe nach:

1. Kanonischer Einheitsvektor: Sieh mal hier http://www.math.uni-duesseldorf.de/~sche...wi/Skript08.pdf . Du musst den entsprechenden Absatz etwas weiter unten im Artikel suchen. Oder noch besser hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Einheitsvektor

2. Zur Linearform (spez. in deinem Beispiel): Wie der Name schon sagt, werden die 3 Komponenten des Vektors [latex]\vec{x} \in \mathbb R^3 [/latex] (allgemein [latex]\vec{x} \in \mathbb R^n [/latex]) linear kombiert, siehe Def. von [latex]L [/latex] in deiner Aufgabenstellung. Was eine Linearkombination ist, ist dir sicher geläufig, sonst nachsehen.

Die Lösung hast du in deinen 2 letzten Beiträgen ja schon hingeschrieben! Vielleicht siehst du vor lauten Bäumen den Wald nicht mehr? Ich zeige dir, wie ich es gemacht habe: Das von dir aufgestellte LGS lässt sich in Matrixform wie folgt darstellen:

Sei [latex]A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1  \end{pmatrix} ,\,\, \vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} ,\,\,\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} [/latex]. Dann gilt [latex]A\vec{a} = \vec{b} \Rightarrow \vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} [/latex]. Ist diese Lösung eindeutig? Ja, denn der Rang der Matrix [latex]A[/latex] ist [latex]\text{Rang A}= 3 [/latex] und der Rang der erweiterten Matrix [latex](A,b)[/latex] ist [latex]\text{Rang (A,b)}= \text{Rang }\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0  & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 3   \end{pmatrix} = 3 [/latex]. Damit ist Existenz und Eindeutigkeit von [latex]\vec{a}[/latex] gezeigt (Satz in der Theorie der LGS!).

Jetzt brauchst du die gefundenen [latex]a_1,\,a_2,\,a_3\,[/latex] nur noch in deine Linearform einzusetzen und erhältst:

[latex]L(x_1,x_2,x_3)= -x_1+2x_2+x_3[/latex]. Die Probe mit den (kanonischen) Einheitsvektoren ergibt: [latex]L(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = a_1,\,\,L(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = a_2,\,\,L(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = a_3 [/latex], was zu erwarten war. Ich hoffe, ich konnte dir damit helfen.

Gruss yeti

Edit1: [latex]\vec{e_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ,\,\vec{e_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\,\vec{e_3} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/latex] (kanonische Einheitsvektoren)
chris85 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schon mal! Aber eines hab ich dann noch nicht ganz verstanden, und zwar das mit den Einheitsvektoren.Wie kanonische aussehen weiß ich.Nur was nun der Sinn des ganzen ist verstehe ich nicht und was du da geprüft hast blick ich auch nicht. Was kann ich anhand deiner Probe erkennen?

"Die Probe mit den (kanonischen) Einheitsvektoren ergibt: [latex]L(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = a_1,\,\,L(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = a_2,\,\,L(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = a_3 [/latex], was zu erwarten war."

Könntest du bitte versuchen das mir noch zu erklären?

LG Chris
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von chris85
Ich kapier das nicht. Kannst du mir das mal im Ansatz zeigen?
Was sieht der kanonische Einheitsvektor aus? es ist doch bestimmt [latex]e[/latex] gemeint oder?
Oh bin jetzt ganz verwirrt.


Zitat:
Original von chris85
Aber eines hab ich dann noch nicht ganz verstanden, und zwar das mit den Einheitsvektoren.Wie kanonische aussehen weiß ich.
LG Chris


Hallo Chris!

Zuerst sagtest du, du wüsstest nicht, was ein kanonischer Einheitsvektor ist (quote 1). Dann sagst du, du weisst wie sie aussehen (quote 2).

Darum habe ich das Ganze etwas ausführlich gemacht und gleichzeitig den Beweis geliefert, dass genau eine Lösung existiert. Zur Anschauung habe ich die kanonischen Einheitsvektoren angeführt. Beweisen wollte ich damit nichts.

Was mich interessiert ist, ob du die Aufgabe jetzt vollständig begriffen hast und ob du in Zukunft mit Linearformen umgehen kannst. Wie steht's damit?

Gruss yeti
chris85 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

Also zuerst wusste ich auch nicht was kanonische Einheitsvektoren sind, aber nach deinem Post hab ich es ja gesehen und weiß es nun auch Augenzwinkern

Das einzige was ich allerdings an der Aufgabe noch immer nicht kapiert habe ist folgendes: [latex]L(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = a_1[/latex]
Du hast in die Linearform einen Einheitsvektor eingesetzt und bekommst [latex]a_1[/latex] als Ergebnis. Das ist mir noch nicht ganz schlüssig. Der Rest in kein Problem mehr!
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Chris!

Für den kanonischen Einheitsvektor [latex]\vec{e_1} [/latex] gilt [latex]x_1= 1,\,\,x_2= 0,\,\,x_3= 0 [/latex]. Wenn du dass in die berechnete Linearform [latex]L[/latex] einsetzest, ergibt sich [latex]a_1[/latex]. Soweit klar?

Gruss yeti
chris85 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Yeti

Also dass für den kanonischen Einheitsvektor [latex]\vec{e_1} [/latex] gilt [latex]x_1= 1,\,\,x_2= 0,\,\,x_3= 0 [/latex], ist mir klar.Nur dass wenn man das in [latex]L[/latex] einsetzt [latex]a_1[/latex]bekommt nicht. Könntest du mir das vllt gerade für [latex]a_1[/latex] zeigen?

Gruß Chris
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von chris85
Und daraus folgt doch dann dass [latex]a_1=-1 , a_2=2 , a_3=1[/latex] ist.

Das habe ich jetzt mittlerweile auch!
[latex]L(x_1,x_2,x_3)=a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 + x_3[/latex]



Hallo Chris!

Du hast die Lösung ja schon bestimmt. Jetzt musst du nur noch einsetzen: [latex]L(e_1)= L(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}) = L(1,0,0)= a_1\cdot 1+ a_2\cdot 0+ a_3\cdot 0= a_1= -1 [/latex]

Oder Probe mit [latex]\vec{v_3}[/latex]: [latex]L(v_3)= L(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}) = L(0,1,1)= a_1\cdot 0+ a_2\cdot 1+ a_3\cdot 1= a_2+ a_3= 2+ 1= 3 [/latex]

Gruss yeti
chris85 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Yeti, jetzt habe ich es verstanden. Vielen Dank für deine Geduld Freude

Gruß Chris
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Chris!

Freude Jederzeit wieder Freude

Gruss yeti
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