Beweisführung Vektorraum

05.12.2011, 11:54	apodo	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweisführung Vektorraum Meine Frage: Guten Morgen, in der Uni behandeln wir gerade Vektorräume. Dazu habe ich eine konkrete Frage. Es wird der folgende Satz aufgestellt, den ich versuche zu beweisen, aber nicht weiß, ob mein Beweis korrekt ist. Es sei V ein K - Vektorraum mit Nullvektor $\begin{eqnarray} 0_{v} \end{eqnarray}$ . Dann gilt für jedes $\begin{eqnarray} v \in K \end{eqnarray}$ und alle $\begin{eqnarray} v \in V \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (- \alpha ) \cdot v = - (\alpha \cdot v) \end{eqnarray}$ , insbesondere ist $\begin{eqnarray} (-1) \cdot v = -v \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Um diesen Satz zu beweisen, habe ich mir folgendes überlegt. Mein Beweis ist sehr kurz und bitte euch, ihn zu bestätigen oder mir zu zeigen, was ich falsch gemacht habe: $\begin{eqnarray} (- \alpha) v = ((-1) \cdot \alpha ) \cdot v = -1 \cdot \alpha \cdot v = -1 \cdot (\alpha \cdot v) = - (\alpha \cdot v) \end{eqnarray}$ Stimmt das soweit? Danke
05.12.2011, 19:18	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (-\alpha)v=((-1)\alpha)v=-1(\alpha v) \end{eqnarray}$ stimmt. Warum -1=- gelten soll, bleibt erstmal dein Geheimnis.
05.12.2011, 21:46	apodo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich dachte, dass könnte man auch aus diesem "insbesondere" - Teil schließen. Wie sonst kann man zeigen, dass das mit der -1 das gleiche wie - ist? Danke dir!
06.12.2011, 18:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast falsch herum gedacht, das "insbesondere" ist eine Schlußfolgerung aus dem Beweis, den du machen möchtest. Tipp: addiere $\begin{eqnarray} (-\alpha)v \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha v \end{eqnarray}$
19.12.2011, 10:53	apodo	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo zusammen, sorry, ich hab ein wenig länger für die Antwort gebraucht. Dennoch interessiert mich noch immer die Lösung. Ich muss also noch zeigen, dass (-1) * v = v ist. Das habe ich so gemacht: (-1) * v = (-1 + 1 - 1) * v = -1v + 1v - 1v = 1v = v. Hierbei habe ich mich nur an den Axiomen des Vektorraums bedingt, nämlich am Distributivgesetz mit einem Element aus dem Vektorraum und drei Elementen aus dem Körper und am 1 * v = v Axiom. Stimmt damit mein Beweis? Vielen Dank

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