Nachweis von Extremstellen

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Nachweis von Extremstellen
Meine Frage:
Mithilfe des Satzes: Die Funktion f sei auf einem Intervall I differenzierbar und x0 eine innere Stelle von I. Wenn f'(x)=0 ist und f'(x) für zunehmende Werte von x bei x0 von

- positiven zu negativen
- negativen zu positiven

Werten wechselt, dann hat f ein

- lokales Minimum
- lokales Maximum

an der Stelle x0.

Die Funktion lautet: f(x)= x * e^x

Ich soll nun die Extremwerte von f bestimmen.

Meine Ideen:
Also erstmal muss ich ja die Ableitung bilden, oder?

x abgeleitet ergibt 1 und e^x abgeleitet ergibt wieder e^x. Also ist f'(x) = e^x?

Wie geht es dann weiter?

Bitte helft mir unglücklich

Danke im Vorraus
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!

Deine Ableitung ist nicht richtig, da du hier die Produktregel verwenden musst! Versuchs nochmal!

Gruß

Johnsen
 
 
Vorschau77 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie wärs mit

e^x (x+1) ?
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

So siehts gut aus! Das musst du jetzt gleich 0 setzen!
Vorschau77 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, hab ich. Nun nach x auflösen ?
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, diejenige Stelle x finden, für die e^x(x+1)=0 gilt. Die wäre?
Vorschau77 Auf diesen Beitrag antworten »

0 ?
Vorschau77 Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, ich meine -1
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, 0 ist kein x-Wert, für den

f'(x)=e^x(x+1)=0

gilt!

Überleg dir mal, wann ein Produkt 0 ist!
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

ja, x= -1 sieht schon besser aus!
Vorschau77 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, und wie geht es nun weiter verwirrt
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst nun eine Tabelle aufstellen und überprüfen, wie sich die Werte rund um -1 verhalten. Und bitte überprüf nochmal, ob du ein deiner Angabe nicht vielleicht etwas verwechselt hast!
Vorschau77 Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn man von -1 aus immer größer geht, sprich -0,9, -0,8, dann wird der Wert auch immer größer. Das selbe auch wenn ich kleiner gehe. Dan wird die Zahl immer kleiner

PS: Was meinst du mit Aufgabe überprüfen? Ich denke ich hab sie richtig gestellt. Sonst habe ich sie vllt falsch aufgeschrieben verwirrt
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktion f sei auf einem Intervall I differenzierbar und x0 eine innere Stelle von I. Wenn f'(x)=0 ist und f'(x) für zunehmende Werte von x bei x0 von

- positiven zu negativen
- negativen zu positiven

Werten wechselt, dann hat f ein

- lokales Maximum
- lokales Minimum

an der Stelle x0.

So muss es heißen. Wenn die Ableitung ihrer Wert von negativ nach positiv ändert, dann ist es ein lokales Minimum!

Was heißt das nun für dein Funktion?
Vorschau77 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hab ichs entweder falsch abgeschrieben oder mein Freund hats schon falsch gemacht, danke.

Also ich versteh grad nicht so wie ich das sagen soll. Soll ich die -1 jetzt in die Stammfunktion einsetzen und dann in die 1. ABleiutungsfunktion und nachgucken?
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

Du suchst Werte für x<-1 und für x>-1 und dann schaust du nach ob die Werte von negativ nach positiv sich verändern (Minimum) oder umgekehrt (Maximum).
Vorschau77 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber nicht in die Stammfunktion, sondern wie grade in die 1. Ableitung?
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

ja, in die erste Ableitung
Vorschau77 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habs gemacht und bei x < -1 wird der Wert immer kleiner (bleibt im Minus) und bei x > -1 wird der Wert immer größer (bleibt im Plus)
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

ja richtig, was heißt das nun? Ist an der Stelle x=-1 ein Minimum oder ein Maximum?
Vorschau77 Auf diesen Beitrag antworten »

Sry aber ich weiß nicht woran ich das erkenne, ich bin ein Mathe Noob unglücklich unglücklich

Es wechselt doch gar nicht bzw. man kann es doch immer beides gleich interpretieren?
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

du hast doch selbst geschrieben, dass der Wert, wenn du von x=-1 immer weiter nach "links" gehst negativer wird und nach "rechts" immer positiver. Also liegt hier ein Minimum vor, da der Wert an der Stelle x=-1 einen Sprung von negativ zu positiv macht!
Vorschau77 Auf diesen Beitrag antworten »

Achsoooo

jetzt hab ichs kappiert, danke. Aber bist du dir sicher, dass ich da verwechselt habe?

Die Aufgabe wäre ja dann abgeschlossen oder? Ich habe noch eine weitere, kleine Aufgabe, die ich dann versuchen würde alleine zu lösen, würdest du mir dabei noch kurz helfen? Gott
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, du versuchst sie zuerst allein zu lösen würde ich sagen.
Vorschau77 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also diesmal geht es um Satz 3.

Die Funktion f sei auf einem Invervall I zweimal differenzierbar. Gibt es für eine innere Stelle x0 von I

f'(x) = 0 und f''(x0)<0
f'(x) = 0 und f''(x) > 0

dann hat f an der Stelle x0 ein

lokales Maximum
lokales Minimum

Die Funktion lautet: f(x) = sin(x) * 1/2x I = [ 0: 2pi]

Erstmal die 1. Ableitung machen.

f'(x) = 1/2 (cos(x)+sin(x))

Dann die 2. Ableitung.

Hier hab ich Schwierigkeiten :S
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

Deine 1. Ableitung ist wieder falsch! Du hat wieder die Produktregel nicht beachtet!
Vorschau77 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man

f(x) = sin (x) *0,5x

u = sin (x)
v = 0,5x

Produktregel: u' * v + v' * u

cos (x) * 0,5x + 0,5 * sin(x)
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

ja, so siehts besser aus! Jetzt dann die 2. Ableitung und wieder auf die Produktregel aufpassen!
Vorschau77 Auf diesen Beitrag antworten »

f'(x) = cos (x) * 0,5x + 0,5 * sin(x)

u = cos (x) v = 0,5x
u = 0,5 v = cos (x)

[ -sin (x) * 0,5x + 0,5 * cos (x) ] + [ 0 * cos(x) + (-sin (x)) * 0,5 ]

?
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

ja, sieht gut aus. Jetzt noch ein wenig zusammen fassen die erste und die 2. Ableitung und dann die erste Ableitung 0 setzen!
Vorschau77 Auf diesen Beitrag antworten »

f'(x) = cos (x) * 0,5x + 0,5 * sin(x)

Ist doch schon zusammengefasst oder irre ich mich?

f''(x) = [ -sin (x) * 0,5x + 0,5 * cos (x) ] + [ 0 * cos(x) + (-sin (x)) * 0,5 ]

f''(x) = [ -sin (x) * 0,5x + 0,5 * cos (x) ] + [ -sin (x) * 0,5 ]



f'(x) = cos (x) * 0,5x + 0,5 * sin(x) = 0
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

Moment, bei deiner 2. Ableitung ist doch was schiefgelaufen:

u = 0,5 v = sin(x)
Vorschau77 Auf diesen Beitrag antworten »

f'(x) = cos (x) * 0,5x + 0,5 * sin(x)

u = cos (x) v = 0,5x
u = 0,5 v = sin (x)

[ -sin (x) * 0,5x + 0,5 * cos (x) ] + [ 0 * sin (x) + cos (x) * 0,5 ]

[ -sin (x) * 0,5x + 0,5 * cos (x) ] + [ cos (x) * 0,5 ]
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

So sieht es gut aus! Nun zu den Nullstellen der ersten Ableitung!

f'(x) = cos (x) * 0,5x + 0,5 * sin(x) = 0,5(cos(x)*x+sin(x))=0
Vorschau77 Auf diesen Beitrag antworten »

geschockt

Jetzt 1x 0 und 1x 2pi einsetzen für x?
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

wie kommst du darauf? Weil das deine Intervallgrenzen sind? Du musst ganz normal das x ausrechnen, für das die Gleichung 0 wird. eines sieht man sofort
Vorschau77 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Zahl 0
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

Für x=0 ist die Gleichung 0, das stimmt. Siehst du noch andere Stellen?
Vorschau77 Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie nicht, nein Big Laugh
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

ja es gibt noch 2 weiter in dem Intervall, aber diese zu berechnen ist nicht ganz leicht.
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