Homogenes lineares Gleichungssystem angeben, dessen Lösungsraum ein Untervektorraum ist

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Anna19 Auf diesen Beitrag antworten »
Homogenes lineares Gleichungssystem angeben, dessen Lösungsraum ein Untervektorraum ist
Hallo,

also, ich habe hier ein Aufgabe, die ich noch nicht so ganz verstehe:

Im seien die folgenden Untervektorräume gegeben:



.

Geben Sie jeweils ein homogenes lineares Glecihungssystem an, dessen Lösungsraum gerade bzw. ist.

Bestimmen Sie außerdem eine Basis von


Wie ich die Aufgabe verstanden habe:

Zunächst zu dem Punkt, wo das homogenes lineares Gleichungssystem angegeben werden muss.
Verstehe ich das richtig, dass ich also ein Gleichungssystem aufstellen soll, wo die lösung dieser untervektorraum ( bzw. ) ist?

Wenn das so sein sollte, wie soll das gehen? Wie kann ich mittels einer löung das Gleichungssystem aufstellen?


Ich wäre euch sehr, sehr dankbar Gott , wenn ihr mir bei dieser aufgabe helfen könntet.

Danke smile
Anna19 Auf diesen Beitrag antworten »

Leider bin ich mit dem ersten teil der aufgabe nicht weiter gekommen. Da habe ich nun damit begonnen, die Basis zu bestimmen. Und da wollt ich euch fragen, ob folgender Ansatz richtig wäre:

Es gilt zunächst mal:




Nun kann glaube ich folgende Gleichung berechnet werden:

bzw.


Das LGS sieht dann bei mir so aus:



was das bis hier hin richtig sein sollte, müsste ich doch das LGS nur noch lösen und dann die ergebnisse in und
einsetzen. Und die Basis wäre bestimmt. Ist das richtig so? Bis hierhin?
Anna19 Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe jetzt die LGS lösen wollen. ABer das klappt irgendwie nicht. Da ich in der letten Zeile gleich drei unbekannte habe. Und so kann ich es irgendwie nicht lösen.

ist ja auch irgendwie logisch. denn U_1 hat nicht die selbe anzahl an Matrizen wie U_2. Deswegen funktioniert es denke ich mal nicht.

Aber welche Lösungsmöglichkeit könnte es denn noch geben?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Schreibe die Vektoren der Unterräume als Zeilen in eine Matrix und bringe diese auf Zeilenstufenform.

Wie findet man nun ein Gleichungssystem, daß U_1 als Lösung hat?
Ein derartiges Gleichungssystem hat prinzipiell die Form:

, wobei die u_i für die Basisvektoren des Raumes U_1 stehen.

Wie man leicht sieht, kann man die einzelnen Zeilen der Matrix als Vektoren betrachten, die jeweils auf den u_i senkrecht stehen. Damit kommen also diese Vektoren aus dem Kern der durch die Vektoren u_i implizierten linearen Abbildung mit der Matrix M, wobei die u_i die Zeilen der Matrix M bilden.
Anna19 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, vielen dank klarsoweit.

ich glaube, ich verstehe es allmählich.
Also, ich gebe erstmal hier die Matrix an, mit der ich die Basis ermitteln will. Du meintest ja so eine, oder?



ich hoffe, dass ist so richtig. ich werde sie mal durchrechnen.

sobald ich was gescheites raus bekomme, werde ich mich dann nochmal melden. wegen der Gleichungssystem finden. um mich zu vergewissern, ob ich dich richtig verstanden habe.

Auf jedenfall schon mal vielen dank bis hier hin. hast mir schon sehr geholfen
Anna19 Auf diesen Beitrag antworten »

tut mir echt leid, wenn ich anscheinend schwer von begriff bin.
aber irgendwie klappt das mit der Berechnung der Basis doch nicht so ganz.
Denn das berechnen der Matrix in meinem letzten Beitrag kann doch eigentlich nicht gehen, oder?
denn es ist doch irgendwie eine Basis der Schnittmenge von U_1 und U_2 gefragt. Aber das ist doch irgendwie nicht mit der obigen Matrix möglich. die ist glaube ich falsch. ich weiß jedoch nicht, wie ich sie anders aufstellen sollte.
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Die Matrix stimmt, wenn du die letzte Spalte mit den Nullen wegläßt (die Vektoren haben 5 Komponenten und keine 0 hintendran) und ein falsches Vorzeichen in der 4. Zeile korrigierst. (Überhaupt ist es überflüssig, bei den Vektoren von U_2 die Vorzeichen zu vertauschen.)
Anna19 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also, ich habe dann doch nochmal auf diese weise die Matrix auf Stufenform gebracht. Und dabei erhielte ich folgende Matrix:

Angefangen bei:



erhielte ich zum Schluss:




Und wie kann man daraus jetzt eine Basis von bilden?
Ich kenne nur die eine art, die ich ganz am anfang machen wollte. Die Differenz bilden. Die ging ja jedoch leider nicht.

Wie geht das nun in diesem Fall dann?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muß unbedingt mal zum Augenarzt. Hammer
Ich habe Vereinigung gelesen, obwohl da Schnittmenge steht. Tut mir wirklich sehr leid. geschockt

Also dein ursprünglicher Ansatz ist vollkommen richtig:



Bei der Matrix des LGS kannst du aber wieder die letzte Null-Spalte weglassen. Außerdem war ein Vorzeichen falsch:



Da ich dich auf die falsche Fährte gebracht habe, rechne ich das mal vor:



-->



--> (3. und 4. Zeile vertauschen)



--> (4. Zeile mal -11, 5. Zeile mal 8)



-->



Die Anzahl der Spalten abzüglich der Anzahl der Nicht-Null-Zeilen beträgt 7 - 5 = 2. Also gibt es 2 linear unabhängige Lösungen. Wähle für die 1. Lösung f=0 und g=1 und für die 2. Lösung f=1 und g=0.
Anna19 Auf diesen Beitrag antworten »

Puh, hatte mich echt schon gewundert, weshalb man es so berechnen sollte.
Aber ist kein Problem, irren ist menschlich.
War schon am verzweifeln, aber hatte doch noch alles ein gutes ende :-)

Vielen, vielen dank. Ich weiß dein Bemühen sehr zu schätzen.

Habe jetzt auch für die beiden lösungen zwei basen rausbekommen.
Nach der ersten Lösung lauten sie:

und nach der zweiten Lösung:



So, dann ist ja jetzt dieser Teil abgehackt, richtig?

Und da hätte ich noch eine Frage zu dem erstellen des linearen homogenen Gleichungssystem.
Ich hatte es so verstanden:

Man multipliziert einfach bzw. mit der Basis. Und dann hätte man auch schon das lineare homogene Gleichungssystem. Ist das richtig?
Es sehe z.B. dann folgendermaßen aus:

*

und dann hat man auch schon das homogene lineare Gleichungssystem. Wäre das so richtig? Oder habe ich doch was missverstanden?


Und nochmals vielen, vielen dank für deine Hilfe
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Anna19
Habe jetzt auch für die beiden lösungen zwei basen rausbekommen.

Genau genommen hast du eine Basis mit 2 Basisvektoren. Augenzwinkern
Und wenn du willst, kannst du den 1. Vektor noch durch -2,5 dividieren.

Zitat:
Original von Anna19
So, dann ist ja jetzt dieser Teil abgehackt, richtig?

Ja.

Zitat:
Original von Anna19
Man multipliziert einfach bzw. mit der Basis. Und dann hätte man auch schon das lineare homogene Gleichungssystem. Ist das richtig?

Mit der Basis von was? Von der Schnittmenge von U1 und U2? Also das homogene lineare Gleichungssystem, das U1 als Lösung hat, hat gewiß nichts mit der Schnittmenge von U1 und U2 zu tun. Ehrlich. Augenzwinkern

Zitat:
Original von Anna19
*

Wie man leicht sieht kann das nicht stimmen, da die Anzahl der Spalten in der Matrix gleich der Anzahl der Komponenten des Vektors sein muß, der mit der Matrix multipliziert wird.

Betrachten wir mal die Basisvektoren von U1:
, und

Die sollen also ein homogenes lineares Gleichungssystem lösen, das heißt also, daß diese die Basis des Kerns bilden. Daraus folgt, daß das GLS aus 2 relevanten Gleichungen besteht. Trägt man die Koeffizienten dieses GLS in eine Matrix ein, dann müßte also folgendes gelten:



Durch Transponieren erhält man nun ein GLS, aus dem sich gesuchten Koeffizienten ergeben.
Anna19 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich bin mir jetzt nicht so sicher, ob meine folgende Rechnung richtig wäre. ich hätte jetzt deine Aufstellung




folgendermaßen berechnet:



->


dies dann transformiert ergibt:



wäre das so richtig? Ist dass dann das lineare homogene Gleichungssystem?
oder habe ich wieder einen Fehler gemacht?
Anna19 Auf diesen Beitrag antworten »

Wink ps:
ich hätte da noch eine Frage LOL Hammer . Und zwar zu dem folgenden:

Zitat:
Original von klarsoweit

Genau genommen hast du eine Basis mit 2 Basisvektoren. Augenzwinkern


das heißt doch jetzt, dass die Basis folgende wäre:

{(-1,0,0,1,-1),(-4,1,1,5,-4)}

aber diese zwei berechneten Basen, besitzen doch unterschiedliche Lösungen des LGS. Kann man diese dann wirklich als eine Basis zusammenfassen verwirrt ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Anna19
aber diese zwei berechneten Basen, besitzen doch unterschiedliche Lösungen des LGS.

Ich verstehe deine Frage nicht. Du redest schon wieder von Basen in der Mehrzahl. Es ging darum U1 geschnitten U2 zu bilden. Da U1 und U2 Unterräume sind, ist U1 geschnitten U2 ebenfalls ein Unterraum. Und davon haben wir [B]eine[B] Basis bestimmt. Fertig.

Zu dem anderen. Ich wollte, daß du diese Gleichung transponierst. Das heißt, jede Matrix wird transponiert. Dabei wird die Reihenfolge bei der Multiplikation vertauscht.



wird also zu



Im Prinzip ist also nur das LGS


zu lösen.
Dr. Logik Auf diesen Beitrag antworten »

Moin!
Kurze Zwischenfrage @klarsoweit:

Zitat:
Original von klarsoweit

...Die Anzahl der Spalten abzüglich der Anzahl der Nicht-Null-Zeilen beträgt 7 - 5 = 2. Also gibt es 2 linear unabhängige Lösungen...


Gibt es da einen Satz zu oder ist das einfach logisches Denken?

Viele Grüße, Dr. Logik
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dr. Logik
Gibt es da einen Satz zu oder ist das einfach logisches Denken?

Ja, gibt es. Ist f: V --> W eine lineare Abbildung, dann ist (schnoddrig gesagt) dim(Kern(f)) = dim(V) - Anzahl der Nicht-Nullzeilen in der zugehörigen Abbildungsmatrix nach Umformung in Zeilenstufenform.
Anna19 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmm, aber etwas verstehe ich nicht so ganz. Das mit den Transponieren ist mir jetzt klar (hatte ich zuvor missverstanden). aber das finde ich merkwürdig:


Zitat:
Original von klarsoweit





wieso ist denn jetzt die b Spalte weg? das kappiere ich nicht so ganz.


Und mit dem Lösen der Matrix: Meinst du, man soll jetzt einfach nur noch das Produkt der beiden Matrizen bilden? Und das wars dann?
Anna19 Auf diesen Beitrag antworten »

Also, sollte ich es richtig verstanden haben, und es wäre das Produkt, dann sehe meine Matrix folgendermaßen aus:



sollte die stimmen, dann frage ich mich:

erstens. wieso b verschwunden ist.

zweitens: muss diese wirklich gelöst werden?
Anna19 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin mir gerade im zweifel, ob die Matrix nicht doch gelöst werden muss. denn es steht ja in der aufgabe, dass der Lösungsraum des homogene lineare Gleichungssystem gerade bzw. entsprechen soll.

Was soll das jedoch heißen?


Och nee, ich glaube, ich habe doch noch nicht den Durchblick bei dieser Aufgabe.


Vielen Dank auch nochmals für eure (insbesondere von klarsoweit) Hilfe. Danke :-)
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Anna19
erstens. wieso b verschwunden ist.

Weil das nichts neues in der Fragestellung liefert. Und diese lautet doch so: Finde alle Vektoren, die mit der Matrix multipliziert genau den Nullvektor ergeben. Diese Vektoren bilden einen Unterraum (man nennt den auch Kern). Deshalb reicht es dann auch, wenn du dann eine Basis davon angibst. Die Komponenten der Basisvektoren bilden dann die Koeffizienten des gesuchten LGS.

Zitat:
Original von Anna19
zweitens: muss diese wirklich gelöst werden?

Ja.
Anna19 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, dann bekomme ich für das LGS:



am ende folgende Matrix raus:




dies bedeutet, es gibt 2 Lösungsmöglichkeiten:

1. Möglichkeit: wenn und
daraus folgt ; und


2. Möglichkeit: wenn und
daraus folgt ; und


und was heißt das nun? was sagen diese Ergebnisse nun aus?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit


Schauen wir nochmal auf obigen Ansatz. Anders ausgedrückt bedeutet dieser:


wobei u_n mit n=1, 2 und 3 die Basisvektoren aus U1 repräsentiert.

Jetzt tragen wir mal deine beiden Lösungen ein und erhalten:



Jetzt nochmal überprüfen, ob alle Basisvektoren von U1 das LGS erfüllen, und der Fall wäre erledigt. Da dies leider nicht der Fall ist, stimmt irgendwas an deiner Lösung nicht.

Und warum du an die LGS-Matrix eine 6-te Spalte mit Nullen dranhängst, bleibt mir nach wie vor ein Rätsel, aber ich nehme das mal als besondere Eigenart von dir hin.
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