Untervektorräume prüfen

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ldchris Auf diesen Beitrag antworten »
Untervektorräume prüfen
Hallo,

ich habe mir jetzt shcon viele, viele Thread über Untervektorräume durchgelesen, aber irgendwie komm ich nicht so richtig weiter.

Ich habe hier die Aufgabe nach zu prüfen, bei welchen Mengen es sich um Untervektorräume des R² handelt.



Okay nun zum Prüfen.

1)
Das mit der leeren Menge die enthalten sein muss verstehe ich nicht so ganz. Trifft es jetzt nur auf U1 und U2 zu und U3 fliegt raus, da das x_2 hier nicht 0 werden kann?
U1 und U2 müssten Untervektorräume sein, da x_1 und x_2 jeweils 0 werden können oder?

2) x*y=0 da ja jeweils eine der beiden Koordinaten (x_1/x_2) 0 werden kann, sollte dies immer zutreffen oder?

3) x+y=0 sollte auch für alle stimmen, da ja mindestens eine Koordinate frei gewählt werden kann oder?

Sind hier brauchbare Überlegungen dabei?
Könntet ihr mir vielleicht helfen, wie ich da jetzt am besten vorgehe bzw. wie ich das überhaupt beweise?
Ich habe noch nie Untervektorräume o.ä. in der Schule gehabt und sitze jetzt in der Uni plötzlich vor so einer Aufgabe.
Vielen Dank schonmal smile
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

also, hier ist leider nicht viel brauchbares dabei ...

x*y=0? x+y = 0? Warum das denn?

Noch mal langsam. Du musst drei Dinge nachprüfen.

Das allererste, was man prüft, ist, ob die Menge nichtleer ist. Also nichts mit leere Menge enthalten, die Elemente sind ja auch keine Mengen. Du musst zeigen, dass deine Mengen nichtleer sind. Am besten zeigt man immer, dass der 0-Vektor drin liegt. Das muss es auch, denn wenn er nicht enthalten ist, ist die Menge kein Vektorraum. Das liegt an den Axiomen eines Vetorraums, neutrales Element und so.

Also: Prüfen, ob Nullvektor enthalten ist. Falls ja, dann weiter. Falls nein: Menge ist kein Untervektorraum.

Nimm dir zwei Elemente x,y, die in der Menge (ich nenn sie mal U) liegen. Zu zeigen ist dann:

und

Fangen wir mal einfach mit der Menge an.

Seien . Also und .

Dann fang mal an: Ist die Null enthalten, was ist mit der Summe dieser Vektoren? Ist der erste Eintrag größer oder gleich Null? Und was ist mit der Multiplikation mit einer reellen Zahl? Bleibt da der erste Eintrag immer größer/gleich Null?
ldchris Auf diesen Beitrag antworten »

Okay. Also ich fange mal an.

Der Nullvektor ist für U1 und U2 enthalten. Bei U3 ist daraus folgt, dass hier kein Nullvektor enthalten sein kann oder?
Es bleiben also schonmal nur noch U1 und U2 übrig. Richtig?

Dann für U1:
Jetzt ist richtig?
Das würde dann bedeuten, es ist ein Untervektorraum oder?


Und für U2
Jetzt ist auch richtig?
Wobei mich jetzt hier das x_2 etwas verunsichert, da bin ich mir nicht sicher.
Das würde ja dann bedeuten, es ist auch ein Untervektorraum oder?
ldchris Auf diesen Beitrag antworten »

Kann keiner was dazu sagen? Ich muss es Freitag früh abgeben...
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst: Ein wenig Geduld musst du mitbringen. Wir haben hier alle auch noch ein Leben abseits des Boards. Augenzwinkern

Zitat:
Original von ldchris
Der Nullvektor ist für U1 und U2 enthalten. Bei U3 ist daraus folgt, dass hier kein Nullvektor enthalten sein kann oder?
Es bleiben also schonmal nur noch U1 und U2 übrig. Richtig?


Richtig. ist also kein Untervektorraum.


Zitat:
Original von ldchris
Dann für U1:
Jetzt ist richtig?


Nein. , was soll das heißen? x und y sind zweidimensionale Vektoren. Es muss heißen und das stimmt dann auch. Addiert man zwei positive Zahlen, ist das Ergebnis positiv.

Aber danach: Wieso wählst du Lambda = 1? Dann hast du es für ein beliebiges Lambda gezeigt. Es muss aber für alle gelten, für 1, 5, -23, ... eben für alle.

Zitat:
Original von ldchris
Und für U2
Jetzt ist auch richtig?


Ebenso hier. Die Menge sagt nur was über den zweiten Eintrag, und sind gleich Null. Danach wieder: Es muss für jedes Lambda gelten, tut es das?
ldchris Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, vielen Dank zunächst!

Es muss und heißen, klar smile

Aber was mache ich mit dem ? Weil das ist ja eine beliebige reelle Zahl, das würde wiederrum bedeuten das Produkt nicht immer zutrifft oder? Es dürfte also kein Untervektorraum sein.

Für U2 ist dann ebenfalls erfüllt. Und für das sollte ja das gleiche gelten wie oben?

Also das mit dem Lambda habe ich leider noch nicht verstanden. Den rest hab ich kapiert, Danke für die schnelle Hilfe!
 
 
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, das zweite ist kein UVR. Beispielsweise ist , aber . Das ist eine Begründung.

Beim dritten schau noch mal hin. Du weißt, dass das zweite Element des Vektors = 0 ist. Jetzt multiplizierst du den Vektor mit irgendeiner Zahl. Bleibt der erste Eintrag gleich Null?
ldchris Auf diesen Beitrag antworten »

Ja bei U2 da bin ich mir jetzt nicht sicher.

Eigentlich müsste ja hier beliebig sein, da nur der zweite angegeben ist. Das heißt dieser könnte auch kein Vektorraum sein, da beliebig ist und damit auch negativ sein kann.

Aber für ist die Bedingung ja erfüllt und es wäre wieder ein UVR.

Für ist es zum Teil erfüllt. ist ja beliebig und von daher nur für bestimmte Werte erfüllt. Für ist es hingegen immer erfüllt, da dies ja =0 ist.


Also wie mache ich dann weiter?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ldchris
Eigentlich müsste ja hier beliebig sein, da nur der zweite angegeben ist. Das heißt dieser könnte auch kein Vektorraum sein, da beliebig ist und damit auch negativ sein kann.


Na und? Ja, das darf negativ sein, aber dann liegt der neue Vektor doch trotzdem in . Der erste Eintrag darf beliebig sein.

Zitat:
Original von ldchris
Aber für ist die Bedingung ja erfüllt und es wäre wieder ein UVR.


Das ist das einzige, was du angucken musst.

Zitat:
Original von ldchris
Für ist es zum Teil erfüllt. ist ja beliebig und von daher nur für bestimmte Werte erfüllt. Für ist es hingegen immer erfüllt, da dies ja =0 ist.


Auch hier: Was mit ist, ist vollkommen egal, die Menge spricht nur vom zweiten Eintrag. Es ist , ist dann ? Wenn ja, dann ist das ein UVR.
ldchris Auf diesen Beitrag antworten »

Also Lamda x X_2 ist dann auch immer 0.
Das bedeutet also, U2 ist der einzige Untervektorraum. Richtig?

Vielen, vielen Dank für die Hilfe! smile
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, ist ein UVR, der Rest nicht.

Bitte! smile
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