beweis ungleichung

06.12.2011, 21:40

dark123

Auf diesen Beitrag antworten »

beweis ungleichung

Hi,

ich soll hier folgende ungleichung beweisen:

$\begin{eqnarray*} \sin(x) < x < tan(x) \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} 0 < x < \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Jetzt hab ich hier eine lösung dazu nur leider versteh man hier eigentlich machen muss. Also:

1.) $\begin{eqnarray*} \sin(x) < x \ g(x) = x - sin(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 < x - \sin(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{g(x) - g(0)}{x - 0} = g '(\xi), \in (0,x) = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{g(x)}{x} = 1 - \cos(\xi) \end{eqnarray*}$

und das ganze dann noch für x < tan(x)

kann mir vl jemand die einzelnen schritte erklären?

lg

06.12.2011, 23:12

juffo-wup

Auf diesen Beitrag antworten »

Damit das ein Beweis ist, sollte man natürlich noch ein paar Worte ergänzen (sagen, was überhaupt gemacht wird und warum).
Es wird mittels des Mittelwertsatzes bewiesen, dass die Funktion x-sin(x) streng monoton in dem Intervall steigt. Da sie bei 0 den Wert 0 hat, ist sie also auf dem Rest des Intervalls >0.

edit: Ganz ähnlich kann man z.B. auch $\begin{eqnarray*} sin(x)>\frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ auf dem Intervall beweisen.

06.12.2011, 23:46

dark123

Auf diesen Beitrag antworten »

ja genau das ist mein problem. ich hab zwar die lösung aber verstehen tu ich sie nicht. also gut mittelwertsatz ist schon mal ein anfang :-)

Also mit hilfe des Mittelwertsatzens zeigt man im allgemeinen dass eine funktion im angegebenen intervall streng monoton steigt? oder trifft das jetzt nur auf dieses beispiel zu?

ich beginne mit

$\begin{eqnarray*} \sin(x) < x \end{eqnarray*}$

um zu zeigen das diese ungleichung stimmt.

wie komme ich jetzt dann aber auf:

$\begin{eqnarray*} g(x) = x - sin(x) \end{eqnarray*}$

undi m weiteren auf :

$\begin{eqnarray*} = \frac{g(x)}{x} = 1 - \cos(\xi) \end{eqnarray*}$

wieso leite ich hier die funktion ab?

lg

06.12.2011, 23:56

juffo-wup

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von dark123
Also mit hilfe des Mittelwertsatzens zeigt man im allgemeinen dass eine funktion im angegebenen intervall streng monoton steigt? oder trifft das jetzt nur auf dieses beispiel zu?

Es gibt in der Mathematik keine solchen "Allheilmittel", zumindest nicht in so allgemeinen Situationen. Wie man beweist, dass eine Funktion steigt (oder sonstwelche Eigenschaften hat), hängt im Allgemeinen ganz von der Funktion ab.

Zitat:

wie komme ich jetzt dann aber auf:

$\begin{eqnarray*} g(x) = x - sin(x) \end{eqnarray*}$

Das ist doch nur eine (Hilfs-)Definition. Darauf 'kommt man' nicht notwendig, sondern derjenige, der sich die Lösung ausgedacht hat, hat gesehen, dass es die Handhabung des Beweises erleichtert - es ist häufig einfacher zu zeigen, dass etwas größer 0 ist als zu zeigen, dass etwas größer als etwas anderes ist. Man kann sich natürlich in einem Beweis neue Begriffe definieren wie man will.

Zitat:

undi m weiteren auf :

$\begin{eqnarray*} = \frac{g(x)}{x} = 1 - \cos(\xi) \end{eqnarray*}$

wieso leite ich hier die funktion ab?

Wie schon gesagt, ist zu zeigen, dass die Funktion >0 ist, und es wird hier gezeigt, indem gezeigt wird, dass die Ableitung im Innern des Intervalles >0 ist und die Funktion daher streng monoton steigt. Ist dir klar, dass aus der strengen Monotonie die Behauptung folgt?

07.12.2011, 13:18

dark123

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ist dir klar, dass aus der strengen Monotonie die Behauptung folgt?

ja ist mir klar. wenn die funktion monoton steigend ist muss die ableitung im intervall a,b immer > 0 sein.

hab ich das bis jetzt richtig verstanden. beim beweis von:

1.)

$\begin{eqnarray*} \sin(x) < x < tan(x) \end{eqnarray*}$

schaue ich mir zuerst den linken und dann den reichten teil an also:

$\begin{eqnarray*} \sin(x) < x \end{eqnarray*}$

daraus definiere ich mir eine hilfsfunktion, forme die ungleichung also um
sodass ich bekomme:

$\begin{eqnarray*} 0 < x - \sin(x) \end{eqnarray*}$

im nächsten schritt zeige ich dass die ableitung im inneren des intervalls > 0 ist. das mache
ich indem ich mir g(x)' berechne:

$\begin{eqnarray*} = \frac{g(x)}{x} = 1 - \cos(\xi) \end{eqnarray*}$

was ich nicht verstehe ist das ja in jedem punkt im intervall g(x)' > 0 gelten muss. wie sehe ich
das dies zutrifft? ich kann den oberen schritt nicht ganz nachvollziehen dass dies für alle x0 gilt.

2.) das ganze mache ich dann noch mit dem rechten teil. und was passiert dann mit dem:

$\begin{eqnarray*} 0 < x < \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

lg

07.12.2011, 21:02

juffo-wup

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von dark123
ja ist mir klar. wenn die funktion monoton steigend ist muss die ableitung im intervall a,b immer > 0 sein.

Ich meinte eigentlich, warum die zu zeigende Aussage (die Ungleichung!) aus der strengen Monotonie folgt.

Zitat:

was ich nicht verstehe ist das ja in jedem punkt im intervall g(x)' > 0 gelten muss. wie sehe ich
das dies zutrifft? ich kann den oberen schritt nicht ganz nachvollziehen dass dies für alle x0 gilt.

Sieh dir doch mal die Ableitung $\begin{eqnarray*} 1-\cos(x) \end{eqnarray*}$ an und denk nochmal scharf nach. Was weißt du denn über Cosinus? Wie sieht der Graph von Cosinus aus?

Zitat:

2.) das ganze mache ich dann noch mit dem rechten teil. und was passiert dann mit dem:

$\begin{eqnarray*} 0 < x < \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Nicht dein Ernst oder? Die Aufgabenstellung ist

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sin(x) < x < tan(x) \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} 0 < x < \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Es soll also bewiesen werden, dass die Ungleichung für diese x gilt, wie es da steht.

Anzeige

07.12.2011, 21:33

dark123

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ich meinte eigentlich, warum die zu zeigende Aussage (die Ungleichung!) aus der strengen Monotonie folgt.

hmm nein dass is mir noch nicht klar.

Zitat:

Sieh dir doch mal die Ableitung $\begin{eqnarray*} 1-\cos(x) \end{eqnarray*}$ an und denk nochmal scharf nach. Was weißt du denn über Cosinus? Wie sieht der Graph von Cosinus aus?

ok das hat sich erledigt. 1 - x ist immer positiv da der cosinus werte zwischen -1 +1 annehmen kann und durch das -1 immer positiv ist.

Zitat:

Die Aufgabenstellung ist Zitat: $\begin{eqnarray*} \sin(x) < x < tan(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0 < x < \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ Es soll also bewiesen werden, dass die Ungleichung für diese x gilt, wie es da steht.

ja alsobis jetzt hab ich die ungleichung jeweils für > 0 bewiesen stimmt das? und nun muss ich beweisen dass sie auch für

$\begin{eqnarray*} 0 < x < \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

gilt oder?

wie gesagt hab ich hier eine lösung, werd aber nicht schlau daraus. hier steht dann weiters:

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} < tan(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 < tan(x) - \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)' = (\tan(x) - \frac{\pi}{2})' =\frac{1}{\cos(x)^2} < \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

das versteh ich nicht weil:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\cos(x)^2} < \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

ja nicht stimmt.

07.12.2011, 21:42

juffo-wup

Auf diesen Beitrag antworten »

Es soll doch garnicht $\begin{eqnarray*} \tan(x)>\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ bewiesen werden, sondern $\begin{eqnarray*} \tan(x)>x \end{eqnarray*}$ FÜR ALLE X MIT $\begin{eqnarray*} 0<x<\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Bild:

Auf der X-ACHSE geht es von 0 bis $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

07.12.2011, 22:02

dark123

Auf diesen Beitrag antworten »

hmm also ist die lösung falsch. stimmt das aber jetzt was ich gesagt habe dass ich nun mal die ungleichung für x > 0 gezeigt habe?

was fang ich jetzt damit an?

$\begin{eqnarray*} 0<x<\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

sorry aber ich kann mir einfach nichts unter dem ganzen vorstellen.

07.12.2011, 22:36

juffo-wup

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber du kennst doch sicher, z.B. aus der Schule, Funktionen? Jeder Zahl x aus einem bestimmten Bereich (hier von 0 bis pi/2) wird ein Funktionswert zugeordnet (eine Zahl, die von x abhängt). In dem Bild ist die Funktion $\begin{eqnarray*} (0,\frac{\pi}{2})\to\mathbb{R},\ x\mapsto \tan(x)-x \end{eqnarray*}$ dargestellt: Für Jede Stelle x auf der x-Achse (unten) ist ein roter Punkt auf der Senkrechten dazu eingetragen, und zwar auf der Höhe, die dem Funktionswert tan(x)-x entspricht; diese Punkt bilden dann zusammen die Kurve, die du siehst. Die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \tan(x)-x>0 \end{eqnarray*}$ ,die in der Aufgabe gezeigt werden sollte, bedeutet daher in Bezug auf das Bild, dass die Kurve in dem Bereich oberhalb der x-Achse verläuft (was sie wie man sieht ja auch tut).

Diese zu zeigende Aussage folgt nun aus zwei Tatsachen:
1. $\begin{eqnarray*} \tan(x)-x \end{eqnarray*}$ ist an der Stelle x=0 auch gleich 0.
2. $\begin{eqnarray*} \tan(x)-x \end{eqnarray*}$ steigt streng monoton an.

Warum reicht es 1. und 2. zu beweisen? Nehmen wir uns eine beliebige Stelle x mit $\begin{eqnarray*} 0<x<\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ also x aus dem Intervall um das es geht. Dann ist wegen x>0 und der strengen Monotonie (2.) : $\begin{eqnarray*} \tan(x)-x>\tan(0)-0 \end{eqnarray*}$ und die rechte Seite der Ungleichung ist wegen 1. gleich 0. Also : $\begin{eqnarray*} \tan(x)>x \end{eqnarray*}$

Dass 1. gilt ist anhand der Definition von tan klar. Für 2. reicht es zu beweisen, dass die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \tan(x)-x \end{eqnarray*}$ im Intervall immer größer als 0 ist. (Dass das wirklich reicht, sagt gerade der Mittelwertsatz: Wenn man das auch noch beweisen will, müsste man also hier noch den Mittelwertsatz einmal anwenden.)
Die Ableitung ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\cos(x)^2}-1 \end{eqnarray*}$
Kannst du sagen warum das jetzt >0 ist? Dann wären wir nämlich, wie du siehst, mit der rechten Ungleichung fertig.
Ich würde dir raten, die linke dann nochmal zu versuchen selber zu machen ohne auf die Lösung zu sehen.

07.12.2011, 23:13

dark123

Auf diesen Beitrag antworten »

danke schonmal für deine ausführlichen erklärungen. es wird schon ein bischen verständlicher aber so ganz wills noch nicht :-)

Also..

Zitat:

Aber du kennst doch sicher, z.B. aus der Schule, Funktionen? Jeder Zahl x...

ja funktionen kenne ich. ist mir auch alles klar eigentlich. ich meinte, ich kann mir unter der anwendung des mittelwertsatzes nichts so rechtes vorstellen.

Zitat:

Die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \tan(x)-x>0 \end{eqnarray*}$ ,die in der Aufgabe gezeigt werden sollte, bedeutet daher in Bezug auf das Bild, dass die Kurve in dem Bereich oberhalb der x-Achse verläuft (was sie wie man sieht ja auch tut).

soweit klar.

Zitat:

Diese zu zeigende Aussage folgt nun aus zwei Tatsachen:
1. $\begin{eqnarray*} \tan(x)-x \end{eqnarray*}$ ist an der Stelle x=0 auch gleich 0.
2. $\begin{eqnarray*} \tan(x)-x \end{eqnarray*}$ steigt streng monoton an.

Das heisst indem ich den mittelwert anwede sind immer diese 2 bedingungen zu beweisen?
2. verstehe ich.
Wie ich auf 1. komme und was mir das bringen soll nicht so ganz.
was wenn ich hätte tan(x) - x -1?

Zitat:

Kannst du sagen warum das jetzt >0 ist?

hmm weil die ableitung einer monoton steigenden funktion immer > 0 ist?

was mir jetzt aber mein intervall hier überhaupt bringen soll ist mir noch immer nicht klar.
was wenn ich die ungleichung im intervall:

$\begin{eqnarray*} 0<x<\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$

zeigen sollte?
was würde sich am beweis ändern?

08.12.2011, 00:15

juffo-wup

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von dark123
Das heisst indem ich den mittelwert anwede sind immer diese 2 bedingungen zu beweisen?

Bitte versuche nicht immer in allem eine allgemeine Regel erkennen zu wollen, die es garnicht gibt. Wir wollen hier doch nur das gegebene Problem lösen. Jedes Problem ist etwas anders als die nächste. Egal welches Problem du lösen willst, du musst schon die spezifischen Eigenschaften des Problems berücksichtigen.
Ich gebe dir hier nicht ein Schema vor, mit dem du alle Aufgaben eines bestimmten Typs lösen kannst. Sowas gibt es so allgemein nicht. Die Situation ist doch: Du willst einen Beweis für diese Aussage finden. Ein Beweis ist eine beliebige Aneinanderreihung von richtigen Argumentationsschritten, die von den Voraussetzungen ausgeht, sodass am Ende das zu zeigende da steht. Du hast vollkommene Freiheit bei der Wahl der einzelnen Schritte, solange es am Ende ein Beweis der Behauptung ist. Ob es ein richtiger Beweis der Behauptung ist, kannst du prinzipiell immer mit deinem eigenen logischen Denken feststelllen (solange du die Definitionen und Sätze, die vorkommen, verstanden hast): Richtig ist ein Schritt, wenn er logisch einwandfrei ist, d.h. wenn er eine logische Folgerung aus den vorherigen Schritten (und sonstigen bekannten Tatsachen) ist (was du wiederum prinzipiell immer selber überprüfen kannst). Sonst ist nichts dafür erforderlich.
Halte dich nicht an Formalitäten und Details fest, sondern versuche die Ideen zu verstehen. Du solltest am Ende nicht denken "es ist richtig, weil das XY gesagt hat", sondern "es ist richtig, weil ich selber sehen kann, dass es logisch notwendig ist". Mehr selber denken! Alles was ich (oder eigentlich irgendjemand sonst auch) dir hier geben kann ist eine Hilfe, um die Lösung zu verstehen (oder auf eine Lösung zu kommen). Niemand kann dir das eigene Denken abnehmen!

Zitat:

2. verstehe ich.
Wie ich auf 1. komme und was mir das bringen soll nicht so ganz.

$\begin{eqnarray*} \tan(0)=0 \end{eqnarray*}$ also auch $\begin{eqnarray*} \tan(0)-0=0 \end{eqnarray*}$ was der Funktionswert von $\begin{eqnarray*} \tan(x)-x \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ist. Wenn du jetzt wissen willst, warum $\begin{eqnarray*} \tan(0)=0 \end{eqnarray*}$ ist, dann sieh dir die (eure) Definition von tangens an!

Zitat:

was wenn ich hätte tan(x) - x -1?

Hast du doch hier garnicht.

Zitat:

Kannst du sagen warum das jetzt >0 ist?

Es ist nicht >0 für die gleichen x für die tan(x)-x >0 ist. Aber das hat überhaupt nichts mit der Aufgabe hier zu tun.

Zitat:

hmm weil die ableitung einer monoton steigenden funktion immer > 0 ist?

Wir wollen doch gerade beweisen, dass die Funktion streng monoton ist. Wir können dann doch nicht im Beweis bereits voraussetzen, dass sie es ist!
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\cos(x)^2}-1 \end{eqnarray*}$ ist aus dem gleichen Grund >0 wie (wie du schon festgestellt hast) $\begin{eqnarray*} 1-\cos(x)>0 \end{eqnarray*}$ ist.

Zitat:

was mir jetzt aber mein intervall hier überhaupt bringen soll ist mir noch immer nicht klar.

Was meinst du mit "bringen"? Das ist die gegebene Aufgabenstellung. $\begin{eqnarray*} \sin(x)<x \end{eqnarray*}$ ist wahr für x aus dem Intervall, aber für manche anderen $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ nicht. Zum Beispiel für x<-1 offensichtlich nicht.

Zitat:

was wenn ich die ungleichung im intervall:

$\begin{eqnarray*} 0<x<\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$

zeigen sollte?
was würde sich am beweis ändern?

Ist dir nicht klar, dass die Ungleichung für $\begin{eqnarray*} 0<x<\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ aus der Ungleichung für $\begin{eqnarray*} 0<x<\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ folgt? Alle x die zwischen 0 und pi/4 liegen, liegen offensichtlich auch zwischen 0 und pi/2.

08.12.2011, 12:11

dark123

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \tan(0)=0 \end{eqnarray*}$ also auch $\begin{eqnarray*} \tan(0)-0=0 \end{eqnarray*}$
was der Funktionswert von $\begin{eqnarray*} \tan(x)-x \end{eqnarray*}$
bei
$\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$
ist. Wenn du jetzt wissen willst, warum
$\begin{eqnarray*} \tan(0)=0 \end{eqnarray*}$
ist, dann sieh dir die (eure) Definition von tangens an!

nein schon klar. nur hast du geschrieben:

Zitat:

Diese zu zeigende Aussage folgt nun aus zwei Tatsachen:
1. $\begin{eqnarray*} \tan(x)-x \end{eqnarray*}$ ist an der Stelle x=0 auch gleich 0.
2. $\begin{eqnarray*} \tan(x)-x \end{eqnarray*}$ steigt streng monoton an.

ich würd nur nie auf die erste tatsache kommen. das mir das hier irgendwie weiter helfen könnte.

Zitat:

Ist dir nicht klar, dass die Ungleichung für $\begin{eqnarray*} 0<x<\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ aus der Ungleichung für $\begin{eqnarray*} 0<x<\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ folgt? Alle x die zwischen 0 und pi/4 liegen, liegen offensichtlich auch zwischen 0 und pi/2.

ja doch war schlecht gewählt. dann halt im intervall:

$\begin{eqnarray*} 0<x<\pi \end{eqnarray*}$

ich mein ich hab jetzt bewiesen dass die ungleichungen für x>0 gelten. ich versteh einfach nicht wie sie dann für:

$\begin{eqnarray*} 0<x<\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

gelten soll. irgendwo muss ich das ja zeigen oder?

08.12.2011, 13:15

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Für mich stellt sich bei dieser Aufgabe ganz grundsätzlich die Frage, auf welches Wissen über die Winkelfunktionen hier man bereits zurückgreifen darf?

$\begin{eqnarray*} \sin(x) < x < tan(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0<x<\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

lässt sich nämlich auch bereits mit elementargeometrischen Überlegungen beweisen, bezogen auf die Definition dieser beiden Winkelfunktionen im Einheitskreis. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von dark123
dann halt im intervall:

$\begin{eqnarray*} 0<x<\pi \end{eqnarray*}$

ich mein ich hab jetzt bewiesen dass die ungleichungen für x>0 gelten.

Ist das jetzt so zu verstehen, dass du glaubst, auch die Ungleichung $\begin{eqnarray*} x<\tan(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ oder doch zumindest $\begin{eqnarray*} 0<x<\pi \end{eqnarray*}$ bewiesen zu haben? Schwerer Irrtum: Überprüfe das mal für $\begin{eqnarray*} x=\frac{3}{4}\pi \end{eqnarray*}$ .

Es ist keine gute Idee, Polstellen wie $\begin{eqnarray*} x=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ beim Tangens einfach so zu ignorieren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.12.2011, 13:49

dark123

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ist das jetzt so zu verstehen, dass du glaubst, auch die Ungleichung $\begin{eqnarray*} x<\tan(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ oder doch zumindest $\begin{eqnarray*} 0<x<\pi \end{eqnarray*}$ bewiesen zu haben? Schwerer Irrtum: Überprüfe das mal für $\begin{eqnarray*} x=\frac{3}{4}\pi \end{eqnarray*}$ .

naja wenn die ungleichung:

$\begin{eqnarray*} x<\tan(x) \end{eqnarray*}$

für x > 0 bewiesen habe bin ich der meinung dass dies für alle x zwischen 0 und pi/2 gilt oder?

08.12.2011, 14:28

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Immer schön wenn man merkt, dass die Beiträge so gründlich gelesen und durchdacht werden. Na dann mach mal schön weiter. Wink

Wink

08.12.2011, 21:36

juffo-wup

Auf diesen Beitrag antworten »

..Und ich hab jetzt auch keine Lust mehr. Da sind einfach zu viele Lücken und Probleme, um über ein Forum etwas ausrichten zu können, besonders wenn der Fragesteller so unkooperativ ist.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »