Basis eines Unterraums aus linear abhängigen Vektoren angeben

06.12.2011, 21:53

Schtizzel

Basis eines Unterraums aus linear abhängigen Vektoren angeben

Hier erstmal die Teilaufgabe:

In V = $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{4} \end{eqnarray*}$ mit dem Standardskalarprodukt und der Euklidischen Norm sind folgende Vektoren gegeben:

$\begin{eqnarray*} a =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}; b =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}; c =\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}; d =\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Sind a, b, c, d linear unabhängig? Geben sie eine Basis an für den Unterraum U von V, der von den vier Vektoren aufgespannt wird.

Hier meine Ansätze:

(1) Lineare Unabhängigkeit mit Gaußalgorithmus prüfen

$\begin{eqnarray*} \alpha*a + \beta*b + \gamma*c + \delta*d = 0 \end{eqnarray*}$

Dafür hab ich dann folgendes raus:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \\ \delta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}*t, t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

(2) Da ja jetzt die Vektoren linear abhängig sind, kann ich einige als Linearkombination der anderen schreiben. Diese fallen dann als Basis des Unterraums weg.

Was bleibt dann noch für die Bestimmung der Basis des durch die Vektoren aufgespannten Unterraums übrig? Was ist die Basis?

06.12.2011, 22:00

Mulder

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RE: Basis eines Unterraums aus linear abhängigen Vektoren angeben
Eine Basis ist eine maximal linear unabhängige Teilmenge. Du hast nun festgestellt, dass die vier Vektoren linear abhängig sind. Einen Vektor kannst du also schon mal rauswerfen. Dann bleiben drei übrig. Sind die dann linear unbhängig? Sind sie es, hast du schon eine Basis gefunden. Wenn sie es nicht sind, muss eben noch ein Vektor dran glauben. So lange, bis die, die übrig bleiben, linear unabhängig sind.

a,b,c und d bilden ein Erzeugendensystem von U. Und eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Ein solches musst du also finden.

06.12.2011, 22:13

Mazze

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Zitat:

Sind sie es, hast du schon eine Basis gefunden. Wenn sie es nicht sind, muss eben noch ein Vektor dran glauben. So lange, bis die, die übrig bleiben, linear unabhängig sind.

Das ist nicht ganz richtig. Gegenbeispiel :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Diese vier Vektoren sind linear Abhängig. Jetzt geh ich nach deinem Schema vor und schmeisse

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

raus. Der Rest ist wieder linear Abhängig. Ich schmeisse noch einen heraus. Der Rest ist wieder linear Abhängig. Ich schmeisse einen weiteren heraus und erhalte als Basis einen Vektor. Das ist aber falsch, denn der aufgespannte Vektorraum ist 2 Dimensional. Eine Basis wäre etwa

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Es ist also sehr wohl wichtig darauf zu achten, welche Vektoren man herausnimmt. Im Zweifel muss man viele Kombinationen durchprobieren.

06.12.2011, 22:16

Mulder

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Naja, Schtizzel hatte doch schon herausgefunden, dass d=b+c ist. So deute ich das jedenfalls. Dass er dann nicht einfach a rauswerfen kann, ist doch logisch. Dann muss man auch nicht sonderlich viel rumprobieren, da kann man schon systematisch vorgehen.

Edit: Zugegebenermaßen war meine Formulierung aber in der Hinsicht wohl unsauber. mea culpa.

07.12.2011, 00:37

Schtizzel

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Danke schon mal für den Ansatz. Da ich ja die Basis eh nur angeben muss und keine Berechnungen dazuschreiben muss, kann ich ja einige Kombinationen durchgehen.

07.12.2011, 14:39

Schtizzel

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Habe jetzt mal alle Kombinationen ausprobiert, dabei konnt ich nur den Vektor d als Linearkombination der anderen Vektoren schreiben. Deshalb ist die Basis des Unterraums $\begin{eqnarray*} \left\{ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\right\} \end{eqnarray*}$ .

Nun komme ich aber bei einer weiteren Teilaufgabe nicht weiter:

(c) Finden Sie einen normierten Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{u} \in V \end{eqnarray*}$ , der orthogonal zu $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{d} \end{eqnarray*}$ ist.

Am einfachsten wäre es ja das Vektorprodukt der beiden auszurechnen, jedoch hab ich keine Ahnung wie das im 4 dimensionalen Raum aussieht.

Als zweiten Ansatz würde ich es mit den Skalarprodukten als Orthogonalitätsbeweis benutzen. Dabei muss es gleich null sein. Also würde sich folgendes ergeben:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} u1 \\ u2 \\ u3 \\ u4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} = 0 \Rightarrow u1+u2+3*u3-u4=0<br /> \begin{pmatrix} u1 \\ u2 \\ u3 \\ u4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 \Rightarrow 2*u1+u2+4*u3+u4=0 \end{eqnarray*}$

Dann kommt halt ein Vektor in Abhängigkeit zweier reeller Variablen raus. Diesen müsste ich dann halt nur noch auf die normierte Form bringen.

Würde das denn so gehen?

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