Induktionsbeweis

10.01.2007, 20:00

Zú

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Induktionsbeweis

Hi,

ich bräuchte etwas Hilfe um dies

$\begin{eqnarray*} \frac{\sum_{i=1}^{2n}a_i+\sum_{i=1}^{n}a_i}{n}+n=\frac{7n+3}{2} \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit Induktion zu beweisen.

Der Induktionsanfang ist ja noch einfach:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sum_{i=1}^{2}a_i+\sum_{i=1}^{1}a_i}{1}+1=5=\frac{7 \cdot 1+3}{2} \end{eqnarray*}$

Kann mir erst mal jemand mit der Induktionsbehauptung helfen?

10.01.2007, 20:19

Thales

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RE: Induktionsbeweis

Zitat:

Original von Zú
$\begin{eqnarray*} \frac{\sum_{i=1}^{2n}a_i+\sum_{i=1}^{n}a_i}{n}+n=\frac{7n+3}{2} \end{eqnarray*}$

Zunächst mal wäre die Induktionsbehauptung natürlich, dass aus der Richtigkeit dieser Aussage für ein bestimmtes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ folgt, dass:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sum_{i=1}^{2(n+1)}a_i+\sum_{i=1}^{n+1}a_i}{n+1}+n+1=\frac{7(n+1)+3}{2} \end{eqnarray*}$

Mehr kann man dazu auch nicht sagen, ohne mehr über die Folge $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ zu wissen. Wenn z.B. alle Glieder gleich 0 sind, stimmt die Behauptung mit Sicherheit nicht.

10.01.2007, 20:26

Zú

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Also $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ ist einfach die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis (2)n.

Wie muss ich nun weitermachen, es ist ja nun etwas komplizierter. Meinen Berechnungen nach ist es:

$\begin{eqnarray*} = \frac{7n+3}{2} + \frac{3n+3}{n+1}+n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{7n+3}{2} + n+7 \end{eqnarray*}$

Aber das kann laut Induktionsbehauptung nicht sein...

10.01.2007, 22:02

Zú

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Hab meinen letzten Beitrag editiert.

11.01.2007, 09:18

klarsoweit

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Zitat:

Original von Zú
$\begin{eqnarray*} \frac{\sum_{i=1}^{2n}a_i+\sum_{i=1}^{n}a_i}{n}+n=\frac{7n+3}{2} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Zú
Also $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ ist einfach die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis (2)n.

Also hier stimmt schon etwas in der Schreibweise oder in deiner Denke etwas nicht. Vermutlich ist das gemeint:
$\begin{eqnarray*} \frac{\sum_{i=1}^{2n}~i + \sum_{i=1}^{n}~i}{n}+n=\frac{7n+3}{2} \end{eqnarray*}$

Entsprechend stimmt auch dein Induktionsanfang nicht.
Beim Induktionsschritt mußt du mit $\begin{eqnarray*} \frac{\sum_{i=1}^{2(n+1)}~i + \sum_{i=1}^{n+1}~i}{n+1}+n+1 \end{eqnarray*}$ anfangen und dann geeignet umformen.

*** verschoben in die Analysis ***

11.01.2007, 18:01

Zú

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Ja, habe mich da vertan, sorry. Also:

Für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gelte:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sum_{i=1}^{2n}~i + \sum_{i=1}^{n}~i}{n}+n=\frac{7n+3}{2} \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sum_{i=1}^{2}i+\sum_{i=1}^{1}i}{1}+1=5=\frac{7 \cdot 1+3}{2} \end{eqnarray*}$

Induktionsbehauptung:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sum_{i=1}^{2n+2}i+\sum_{i=1}^{n+1}i}{n+1}+n+1=\frac{7(n+1)+3}{2}=\frac{7n+10}{2} \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sum_{i=1}^{2n+2}i+\sum_{i=1}^{n+1}i}{n+1}+n+1 \end{eqnarray*}$

Kann mir hier bitte jemand behilflich sein? Wie muss ich nun umformen?

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11.01.2007, 20:11

Thales

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Die Induktionsbehauptung musst Du immer aus der Induktionsvoraussetzung beweisen, also hier $\begin{eqnarray*} \frac{\sum_{i=1}^{2n}a_i+\sum_{i=1}^{n}a_i}{n}+n=\frac{7n+3}{2} \end{eqnarray*}$ , denn Du hast ja angenommen, dass diese schon einmal wahr ist. Du solltest entsprechend hier zum Ziel kommen, wenn Du den Zähler von $\begin{eqnarray*} \frac{\sum_{i=1}^{2n+2}i+\sum_{i=1}^{n+1}i}{n+1} \end{eqnarray*}$ mithilfe der Voraussetzung anders darstellst - denk dran, die Summen, die bei n noch im Zähler standen, sind in den "neuen" immer noch enthalten, es ist nur ein Summand dazugekommen.

11.01.2007, 21:26

Zú

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Da weiß ich eben nicht weiter. Wie kann ich den Zähler in diesem Fall umformen?

Und es läuft ja dann darauf hinaus, dass ich schließlich $\begin{eqnarray*} \frac{7n+3}{2} \end{eqnarray*}$ so umformen muss, dass die Induktionsbehauptung rauskommt.

11.01.2007, 21:39

Thales

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Es ist:
$\begin{eqnarray*} \frac{\sum_{i=1}^{2n+2}i+\sum_{i=1}^{n+1}i}{n+1} = \frac{\sum_{i=1}^{2n}i+\sum_{i=1}^{n}i + (2n+1)+(2n+2)+(n+1)}{n+1} \end{eqnarray*}$

Und für $\begin{eqnarray*} {\sum_{i=1}^{2n}i+\sum_{i=1}^{n}i} \end{eqnarray*}$ hast Du außerdem gegeben, dass wegen der Induktionsvoraussetzung "sei die zu beweisende Aussage für n schon erfüllt", dass:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sum_{i=1}^{2n}i+\sum_{i=1}^{n}i}{n}+n=\frac{7n+3}{2} \end{eqnarray*}$

Und mithilfe dieser Gleichung kannst Du es in der ersten Gleichung wegkriegen, danach sollte alles klappen.

11.01.2007, 21:54

Zú

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Achso, ja soweit war ich auch schon,

Du häst übrigens das n+1 nach dem Bruch vergessen:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sum_{i=1}^{2n+2}i+\sum_{i=1}^{n+1}i}{n+1} = \frac{\sum_{i=1}^{2n}i+\sum_{i=1}^{n}i + (2n+1)+(2n+2)+(n+1)}{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\sum_{i=1}^{2n+2}i+\sum_{i=1}^{n+1}i}{n+1}+n+1 = \frac{\sum_{i=1}^{2n}i+\sum_{i=1}^{n}i + (2n+1)+(2n+2)+(n+1)}{n+1}+n+1 \end{eqnarray*}$

Und wenn ich keinen Denkfehler gemacht habe geht es ja dann quasi so weiter:

Durch das Wegfallen der "schon bewiesenen Summenzeichen" ergibt sich ja dann

$\begin{eqnarray*} \frac{5n+4}{n+1}+n+1 \end{eqnarray*}$

Als muss der Induktionsschritt weiter lauten:

$\begin{eqnarray*} = \frac{7n+3}{2}+\frac{5n+4}{n+1}+n+1 \end{eqnarray*}$

Weiter zusammengefasst zu:

$\begin{eqnarray*} = \frac{7n+3}{2}+\frac{n^2+7n+5}{n+1} \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig? Wie kann man das weiter kürzen, es muss sich ja nun die Induktionsbehauptung ergeben!

11.01.2007, 22:49

klarsoweit

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Zitat:

Original von Zú
Durch das Wegfallen der "schon bewiesenen Summenzeichen" ergibt sich ja dann

$\begin{eqnarray*} \frac{5n+4}{n+1}+n+1 \end{eqnarray*}$

Etwas ungewöhnlich formuliert. Die Summen fallen nicht weg, sondern diese werden durch $\begin{eqnarray*} \frac{7n+3}{2} \end{eqnarray*}$ ersetzt. Das hast du wohl auch so gemacht.

Die beiden Brüche in der letzten Zeile mußt du noch zusammenfassen (Hauptnenner).

11.01.2007, 22:54

Zú

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Oke danke, zusammengefasst habe ich

$\begin{eqnarray*} = \frac{9n^2+24n+13}{2n+2} \end{eqnarray*}$

raus. Aber das lässt sich doch niemals zu $\begin{eqnarray*} \frac{7n+10}{2} \end{eqnarray*}$ kürzen!

11.01.2007, 23:10

Zú

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Irgendwie habe ich das Gefühl falsch abgebogen zu sein.
Kann es sein, dass dieser Schritt falsch ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sum_{i=1}^{2n+2}i+\sum_{i=1}^{n+1}i}{n+1}+n+1 = \frac{\sum_{i=1}^{2n}i+\sum_{i=1}^{n}i + (2n+1)+(2n+2)+(n+1)}{n+1}+n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{5n+4}{n+1}+n+1 \end{eqnarray*}$

---

Und ist $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{2n+2}~i \end{eqnarray*}$ denn überhaupt äquivalent zu $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{2n}~i+(2n+2) \end{eqnarray*}$ ?

11.01.2007, 23:26

klarsoweit

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Zitat:

Original von Zú
Irgendwie habe ich das Gefühl falsch abgebogen zu sein.

Ja du hast recht. Habe ich leider übersehen. Es ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sum_{i=1}^{2n+2}~i+\sum_{i=1}^{n+1}~i}{n+1}+n+1 = \frac{\sum_{i=1}^{2n}~i+\sum_{i=1}^{n}~i + (2n+1)+(2n+2)+(n+1)}{n+1}+n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{\sum_{i=1}^{2n}~i+\sum_{i=1}^{n}~i}{n+1} + n + \frac{(2n+1)+(2n+2)+(n+1)}{n+1}+1 \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du für die ersten beiden Summanden die Induktionsvoraussetzung verwenden. Das ergibt dann:

$\begin{eqnarray*} ... = \frac{7n+3}{2} + \frac{(2n+1)+(2n+2)+(n+1)}{n+1}+1 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, das geht jetzt.
mache Feierabend.

12.01.2007, 08:49

klarsoweit

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Leider geht es so auch nicht. Hammer

Hammer

Gestern war es einfach zu spät für mich. Also der ganze Induktionsschritt nochmal von vorn:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sum_{i=1}^{2n+2}~i+\sum_{i=1}^{n+1}~i}{n+1}+n+1 = \frac{\sum_{i=1}^{2n}~i+\sum_{i=1}^{n}~i + (2n+1)+(2n+2)+(n+1)}{n+1}+n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{\sum_{i=1}^{2n}~i+\sum_{i=1}^{n}~i}{n+1} + \frac{(2n+1)+(2n+2)+(n+1)}{n+1} + \frac{n^2+2n+1}{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{\sum_{i=1}^{2n}~i+\sum_{i=1}^{n}~i}{n+1} + \frac{n^2}{n+1} + \frac{7n+5}{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{n}{n+1} \cdot \left( \frac{\sum_{i=1}^{2n}~i+\sum_{i=1}^{n}~i}{n} + n \right) + \frac{7n+5}{n+1} \end{eqnarray*}$

Jetzt für Klammer die Induktionsvoraussetzung einsetzen. Das ergibt dann:

$\begin{eqnarray*} ... = \frac{n}{n+1} \cdot \frac{7n+3}{2} + \frac{7n+5}{n+1}= \frac{7n^2+3n+14n+10}{2(n+1)} = \frac{(7n+10) \cdot (n+1)}{2(n+1)} \end{eqnarray*}$

Und damit ist man endlich da, wo man die ganze Zeit hinwollte. geschockt

geschockt

12.01.2007, 10:23

Zú

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Ahh, vielen Dank. Freude

Freude

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