Interpolationspolynom

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10.01.2007, 20:39	JtR	Auf diesen Beitrag antworten »
Interpolationspolynom Ich hätte da noch eine (wahrscheinlich) ganz einfache Frage: Wie müssen die (n+1) reellen Stützstellen $\begin{eqnarray} x_0,...,x_n \end{eqnarray}$ gewählt werden, damit zu allen (n+1) Tupeln $\begin{eqnarray} (y_0,...,y_n) \in \mathbb{R}^{n+1} \end{eqnarray}$ genau ein Polynom $\begin{eqnarray} P(x) = \sum_{k=0}^n a_k x^{2k} \end{eqnarray}$ existiert, das die Stützpunkte $\begin{eqnarray} (x_j, y_j), j=0,...,n \end{eqnarray}$ interpoliert? Das gibt doch ein simples LGS mit $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & x_0^2 & x_0^4 & ... & x_0^{2n} \\ \vdots \\ 1 & x_n^2 & x_n^4 & ... & x_n^{2n} \end{pmatrix} \cdot (a) = (y) \end{eqnarray}$ Substituiert man jetzt $\begin{eqnarray} u_i = x_i^2 \end{eqnarray}$ so erhält man die Vandermondesche Matrix - welche regulär ist. Ich glaube, ich habe die Frage nicht verstanden Solange die obige Matrix regulär ist, ist das LGS eindeutig lösbar. Also müssen die Stützpunkte paarweise verschieden sein?
15.01.2007, 14:06	kingskid	Auf diesen Beitrag antworten »
ich würd auch sagen dass das poly für paarweise versch. stützstellen eindeutig ist
15.01.2007, 18:02	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Interpolationspolynom $\begin{eqnarray} \text{(n+1) reellen Stützstellen } x_0,...,x_n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{(n+1) Funktionswerte } y_0,...,y_n \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Ziel: Interpolationspunkte }(x_j, y_j), j=0,...,n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Gestalt: }P(x) = \sum_{k=0}^n a_k x^{2k} = a_0+a_1x^2+...+a_nx^{2n} \Rightarrow P \in \Pi_{2n} \end{eqnarray}$ Zunächst würde man daher nach dem Satz über die Existenz und 'Eindeutigkeit des Interpolationspolynoms sagen, dass wir 2n+1 Stütstellen brauchen um das Interpolationspolynom eindeutig bestimmen zu können. Nun beinhaltet die Vorgabe der Gestalt von P, dass in der allgemeinen Schreibweise für ein Polynom gilt(jetzt mit b statt a um Verwirrung zu vermeiden): $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{2n} b_k x^{k} = b_0+b_1x+b_2x^2+...+b_{2n}x^{2n} \text{ und } b_1=b_3=...=b_{2n-1} = 0 \end{eqnarray}$ Daraus ergibt sich das LGS: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & x_0 & x_0^2 & ... & x_0^{2n} \\ 1 & x_1 & x_1^2 & ... & x_1^{2n} \\ \vdots \\ 1 & x_{2n-1} & x_{2n-1}^2 & ... & x_{2n-1}^{2n} \\ 1 & x_{2n} & x_{2n}^2 & ... & x_{2n}^{2n} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_0 \\ 0\\ \vdots \\ 0 \\ a_{2n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_0 \\ y_1 \\ \vdots \\ y_{2n-1} \\y_{2n} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Beispiel: $\begin{eqnarray} \text{n=1 } P(x) = a_0 + a_1x^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_0=-1, y_0 = 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1 =1,y_1 = 2 \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} P(x) = 1+x^2 \end{eqnarray}$ sicherlich eine Lösung des IP-Problems. Jedoch löst auch $\begin{eqnarray} Q(x)=0+2x^2 \end{eqnarray}$ das Problem. Somit dürfte deine Begründung nicht ausreichend sein.
15.01.2007, 18:51	kingskid	Auf diesen Beitrag antworten »
hi tigerbine, gutes beispiel, jetzt interessiert mich die aufgabe aber auch was ist dann genau das problem an der lösung von oben, dass das LGS so nicht stimmt ? oder warum muss man das mit einem allgemeinen poly aufstellen? aber ich versteh dein LGS noch nicht ganz mit der nummerierung... die matrix ist eine 2nx2n-matrix, oder? weil in der letzten zeile lauter x_n stehen? also bedeutet das, dass alle $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ mit i ungerade mit null multipliziert werden und wir deshalb nur n freie parameter haben und deshalb n+1 stützpunkte langen das poly eindeutig zu bestimmen? hast du einen tipp wie man die bedingung genau stellen muss?? viele grüße kingskid
15.01.2007, 18:59	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Servus kingskid, habe die letzte Zeile gerade editiert. Das habe ich in latex nicht gesehen, sry. Ich habe das klassische Polynom mal hingeschrieben, weil sich darauf die "klassischen" Sätze beziehen. Polynom vom Grad n braucht (n+1)-Strützstellen (paarweise verschieden) um eindeutig bestimmt werden zu können. Die Aufgabe stellt nun die Frage, ob man durch die Vorgabe von den gesuchen Parametern, also die allgemeinen $\begin{eqnarray} b_i \end{eqnarray}$ , Knoten einsparen kann. Im allgemeinen halte ich dies nicht für möglich und dürfte ja auch ein Gegenbeispiel angeben haben. Nun haben wir es hier aber mit speziellen Polynomen zu tun, es sind gerade Funktionen, d.h. sie sind symmetrisch zur y-Achse.
15.01.2007, 20:12	kingskid	Auf diesen Beitrag antworten »
hm ja, so wie die aufgabe gestellt ist müsste es ja für diese speziellen polys eine lösung geben... d.h.man muss die b_i = 0 (i ungerade) wählen und für diese symm. funktionen müsste gelten f(x_j) = f(-x_j), kann man also dadurch knoten einsparen, dass man nur die x_j braucht die auf der positiven (oder halt negativen) x-achse liegen?
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15.01.2007, 21:15	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, wir haben in diesem Fall ja n+1 Knoten von allgemein nötigen 2n+1. Jedoch ist es wegen der Achsensymmetrie möglich sich durch spiegeln die Fehlenden n Knoten und zugehörigen Werte zu basteln. Damit das ganze funktioniert, muss man eben nicht symmetrische Knoten (zur y-Achse) wählen. Es können aber auch gemischte Knoten vorliegen (also pos. und neg.), nur eben nicht wie in meinem Beispiel symmetrische
16.01.2007, 09:51	kingskid	Auf diesen Beitrag antworten »
cool, das hört sich logisch an vielen dank für deine erklärungen!
16.01.2007, 11:31	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wenn wir dann zum ersten Beitrag zurückkehren, erkennen wir das dann schlieslich auch. Setzten wir symmetrische Stützstellen ein, so ist die Matrix nicht mehr regulär
16.01.2007, 13:48	kingskid	Auf diesen Beitrag antworten »
... weil durch die geraden exponenten dann gleiche und damit linear abhängige spalten entstehen, oder`?
16.01.2007, 14:13	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau

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