Orthogonale Matrix

08.12.2011, 19:24

KingWarrior

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Orthogonale Matrix

Hallo,

folgender Sachverhalt:

Geg: Matrize (M)*a
3 - 4
4 3

Frage: Gibt es einen Faktor a, für den die Matrix orthogonal ist?

Meine Überlegung:

Wenn ich das Skalarprodukt aus den beiden Spaltenvektoren bilde, dann erhalte ich 0. Somit stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander.Daher ist( a € R ), weil ich ja jede Zahl multiplizieren kann, ich aber immer wieder 0 erhalte. Außerdem wäre der Cosinus (0) 90°.

Außerdem: Offensichtlich ist die Matrix eine Schiefsymmetrische Matrix. Bringt mir das bei der Aufgabe was?

Was muss man denn jetzt hier machen?

08.12.2011, 23:35

tigerbine

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RE: Orthogonale Matrix
Du hast also

$\begin{eqnarray*} a\cdot \begin{pmatrix} 3&-4 \\4 & 3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wann nennt man eine Matrix nun orthogonal?
http://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonale_Matrix

Da die Frage "offen" formuliert ist, kann man erst mal ein Kriterium prüfen. Vielleicht hat man so schon einen Widerspruch. Also nehmen wir von orthonormal erstmal ortogonal als Test. Warum? Hat das a darauf einen Einfluss? [a soll ungleich 0 sein, sonst wäre es die Nullmatrix]

$\begin{eqnarray*} \langle (3,-4),(4,3)\rangle) = 0 \end{eqnarray*}$

Aber er ist

$\begin{eqnarray*} \langle (3,-4),(3,-4)\rangle) = 9+16=25 \end{eqnarray*}$

Du sprachst nun von schiefsymmetrisch. Ist das nun gut oder schlecht, wenn man

$\begin{eqnarray*} \langle (4,3),(4,3)\rangle) =? \end{eqnarray*}$

betrachtet?

09.12.2011, 21:02

KingWarrior

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Deine letzte Frage : Ist die Frage an mich gerichtet? Wenn ja , habe ich darauf keine Antwort. Und: Eine Matrix ist orthogonal, wenn die Determinante 1 oder -1 ist. Das ist hier nicht der Fall. Aber das muss auch nicht unbedingt so sein , dass ist eine hinreichende , aber keine notwendige Bedingung soweit ich das weiß.

09.12.2011, 21:05

tigerbine

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An wen sollte die Frage sonst sein? Bitte lies meinen Beitrag und den Wikilink noch einmal genau durch.

Das ? kannst du berechnen, dann nochmal über das Wort orthonormal nachdenken.

11.12.2011, 15:45

KingWarrior

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Also: Zu deiner Frage fällt mir immer noch nichts ein , weil ich nicht weiß, was du damit sagen willst. Die Vektoren , so wie du sie in der letzten Zeile aufgeschrieben hast , kommen doch gar nicht vor.

Weiter: Orthonormal habe ich so verstanden , dass die Vektoren auf die Länge eins normiert sind.. Also: Vektor x / Betrag von Vektor x. Das wäre dann 1/5*a*(3,4) und 1/5*a*(-3,4).

Außerdem. Bei einer schiefsymmetrischen Matrix ist wohl die Inverse gleich der Ausgangsmatrix , oder? Kommt zumindest bei mir raus.

M^T*M=E : Da kommt bei mit 27,0 ; 0,27 raus. Durch 27 teilen und ich habe die Einheitsmatrix. Soll das dann mein Faktor sein???

So viele Dinge die man da prüfen kann , aber was ist nun das richtige?

11.12.2011, 15:49

tigerbine

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Zitat:

Weiter: Orthonormal habe ich so verstanden , dass die Vektoren auf die Länge eins normiert sind.

Eben.

Die Vektoren vom mir sind Zeilenvektoren der Matrix. Und die sollen doch orthonormal sein. Sind sie das? Kann man das beheben? Welche Rolle spielt da das a?

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11.12.2011, 16:33

KingWarrior

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Das mit dem orthonormal spielt doch gar keine Rolle, so wie ich das sehe. Antworte doch nicht immer mit einer Gegenfrage auf eine Frage!

Orthonormalität hat in den Vorlesungen bei diesem Aufgabentyp nie eine Rolle gespielt. Außer bei Eigenwerten.

Soll ich die Matrix jetzt mit dem Einheitsvektor multiplizieren oder was?

11.12.2011, 16:35

tigerbine

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Dann siehst du das eben falsch.

Zitat:

Frage: Gibt es einen Faktor a, für den die Matrix orthogonal ist?

Ich habe dir nun den Weg gebahnt, die Frage mit ja zu beantworten.

Zitat:

Wenn ich das Skalarprodukt aus den beiden Spaltenvektoren bilde, dann erhalte ich 0. Somit stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander

Reicht aber nicht, weil soll ja nicht nur orthogonal, sondern orthonormal sein. [Ob Zeilen oder Spaltenvektoren ist da nun egal].

Was stört:

$\begin{eqnarray*} \langle (3,-4),(3,-4)\rangle) = 9+16=25 \end{eqnarray*}$

Kann man das beheben? Kommt darauf an, was

$\begin{eqnarray*} \langle (4,3),(4,3)\rangle) =? \end{eqnarray*}$

ist und wenn du das berechnet hast, sollte auch klar sein, was a sein muss.

11.12.2011, 17:45

KingWarrior

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Das ist auch 25. Soll dann a 25 sein ? Und ich habe doch nur eine positive 4. In deinem Skalarprodukt stehen 2 positive Vieren. Wo nimmst du die her?

11.12.2011, 17:50

tigerbine

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Du musst genauer schauen.

Zitat:

Da die Frage "offen" formuliert ist, kann man erst mal ein Kriterium prüfen. Vielleicht hat man so schon einen Widerspruch. Also nehmen wir von orthonormal erstmal ortogonal als Test. Warum? Hat das a darauf einen Einfluss? [a soll ungleich 0 sein, sonst wäre es die Nullmatrix]

$\begin{eqnarray*} \langle (3,-4),(4,3)\rangle) = 0 \end{eqnarray*}$

Aber er ist

$\begin{eqnarray*} \langle (3,-4),(3,-4)\rangle) = 9+16=25 \end{eqnarray*}$

Was habe ich da also im Skalarprodukt stehen? sind doch 2 verschiedene Sachen. Und wenn ich auf Normierung testen will, dann nehme ich da <x,x> und nicht <x,y>.

Wie ist nun aber die Norm eines Vektors genau definiert? Und mal 25 behebt sicher nicht das Nomrierungsproblem. Bleibst du bei 25 als Lösung? Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.12.2011, 22:00

KingWarrior

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Normierter Vektor habe ich doch oben schon geschrieben. Das ist der Vektor geteilt durch den Betrag des Vektors.

Trotzdem hast du da oben zweimal die +4 im skalarprodukt. wo hast du die jetzt her?

Ich glaube , wir kommen hier nie ans Ziel, weil du mir nicht sagen willst, wie das funktioniert.Ich bin kein Mathematik Student.

11.12.2011, 22:14

tigerbine

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Wir kommen nicht ans Ziel, weil du mir nicht zuhörst. verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3&-4 \\4 & 3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wir haben hier 2 Zeilenvektoren. (3,-4) und (4,3). Sind die orthonogal?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \langle (3,-4),(4,3)\rangle) = 0 \end{eqnarray*}$

Ja.

Sind sie orhtonormal, also auch normiert?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \langle (3,-4),(3,-4)\rangle) = 9+16=25 \end{eqnarray*}$

Nein. Was habe ich hier berechnet? Das scheint dir zu fehlen Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \|v\|_2^2=\langle v,v\rangle \end{eqnarray*}$

So, wenn ein Vektor normiert ist, dann ist eben auch $\begin{eqnarray*} \langle v,v\rangle =1 \end{eqnarray*}$

Das ist hier aber nicht der Fall. Wie schlimm ist das in Bezug auf das a? Daher der zweite Vektor

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \langle (4,3),(4,3)\rangle) =25 \end{eqnarray*}$

Gut, der ist genauso "daneben". Man kann also mit dem a beide passend normieren. Logisch ist, dass die Einträge kleiner werden müssen, also macht a=25 keinen Sinn.

Ich habe nun aber nicht die Norm, sondern deren Quadrat berechnet. Also was ist a?

11.12.2011, 23:11

KingWarrior

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[Quote]Nein. Was habe ich hier berechnet? Das scheint dir zu fehlen

Ja, das fehlt mir. Ich habe keine blassen Schimmer was du da rechnest., Soll das die Determinante sein? Ich wunder mich nur immer über die Vorzeichen , die du dir aus den Fingern saugst ;-)

Und was soll das v in den zwei Strichen bedeuten? Der Betrag des Vektors? Und dann die zwei Zweien? Wofür stehen die? Und was bedeutet <v,v> ??

Wenn 25 das Quadrat sein soll das muss a 5 sein. Aber ich blick ad nicht hinter , was für ein System da hinter stecken soll. Welche Formel nimmst du da?

11.12.2011, 23:14

tigerbine

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Du solltest mal Begriffe wir Norm und Skalarprodukt nachschlagen. Ich sauge mit nichts aus den Fingern, ich berechne nur <v,v>, also das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst.

http://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodu...eine_Definition
http://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodu...ogonalit.C3.A4t

11.12.2011, 23:27

KingWarrior

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Ganz ehrlich. Mir reicht , wenn ich Vektor und Skalar und Spatprodukt berechnen kann. Wie gesagt, ich bin kein Mathe Student und an keiner Uni. Daher bringen mir diese Symboldarstellungen eher weniger .
Aber jetzt antworte mal auf das, was ich schon das dritte mal jetzt schreibe: Laut Vorlesung wird der normierte Vektor mit : Vektor geteilt durch Betrag des Vektors berechnet. Siehst du das auch so? Und auf meine andere Frage, ob 25 die Determinante sein soll, bist du auch nicht eingegangen. Was ist denn nun a?

11.12.2011, 23:52

tigerbine

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Mäßige mal deinen Ton. Ich habe dir den Rechenweg bereits erklärt. Was postest du in der HS Mathe, wenn du kein Student bist. unglücklich

unglücklich

Zitat:

Laut Vorlesung wird der normierte Vektor mit : Vektor geteilt durch Betrag des Vektors berechnet. Siehst du das auch so?

"Ja", nur erkennst du nicht den Zusammenhang zwischen Betrag und Norm. Du musst durch die Norm teilen.

Auf die Determinante gehe ich nicht ein, weil ich die nirgendwo berechnet habe.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \langle (3,-4),(3,-4)\rangle) = 9+16=25 \end{eqnarray*}$

Das ist die Norm des Vektors zum Quadrat. Weil eben

"|v|"² =||v||² = <v,v> = v1²+v2²

in unserem Beispiel.

Zitat:

Was ist denn nun a?

Das sollst du doch sagen. Boardprinzip gelesen? Welchen "Betrag" haben die Zeienvektoren? Mit welcher Zahl müssen sie also normiert werden? smile

smile

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8:	A=[3/5,-4/5;4/5,3/5] A = 0.60000000000000 -0.80000000000000 0.80000000000000 0.60000000000000 >> A*A' ans = 1 0 0 1

http://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonale_Matrix

A'=A transponiert

12.12.2011, 09:54

KingWarrior

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Der Betrag ist 5.

12.12.2011, 12:35

tigerbine

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Zitat:

Mit welcher Zahl müssen sie also normiert werden?

12.12.2011, 13:37

KingWarrior

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Mit 1/5 ?

12.12.2011, 13:54

tigerbine

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Freude

12.12.2011, 13:58

KingWarrior

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Also ist mein a =1/5 ?

12.12.2011, 19:54

KingWarrior

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Ja , mein a ist 1/5.
Habe noch mal mit nem Kollegen darüber geredet. a kann auch kurz und schmerzlos ohne viel rechnen bestimmt werden.

3a*3a-(4a(-4a))=1
25a^2=1 I Wurzel
a = 1/5

Fertig. :-)

12.12.2011, 19:57

tigerbine

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Zitat:

3a*3a-(4a(-4a))=1

Was nichts anderes ist, als

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \langle (3,-4),(3,-4)\rangle) = 9+16=25 \end{eqnarray*}$

zu berechnen und zu erkennen, dass man statt 25 lieber 1 hätte, da es ja normiert sein soll. smile

smile

12.12.2011, 20:16

KingWarrior

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Danke für deine Hilfe!

12.12.2011, 21:00

tigerbine

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Gerne.

Wink

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