Kern und Bild

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pihalbe Auf diesen Beitrag antworten »
Kern und Bild
Ich habe bei zwei Teilaufgaben Probleme:

i) Bestimme die Basis von Kern(L)

Dazu ist die Darstellungsmatrix M(B,L,A) gegeben mit:



Ich weiß bereits, dass der Kern der Vektor x ist, der mit der Matrix multipliziert den Nullvektor ergibt. Daraus kann man ein lineares Gleichungssystem erzeugen, da bekomme ich dann jedoch nicht die richtige Lösung raus.

Bei der zweiten Teilaufgabe soll man die Basis von Bild(L) bestimmen.


Vielen Dank im voraus für die Hilfe
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Wie sieht denn deine Zeilenstufenform aus?
Immerhin müssen wir einen Anhaltspunkt bekommen, was Du falsch gemacht haben könntest, um Dir zu helfen.
pihalbe Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also:



Wobei die letzte Spalte die Lösungsspalte sein soll, ich wusste leider nicht, wie man den vertikalen Strich macht.

Ich würde nun sagen, dass ist.

Jetzt ist die Frage: Ist das bis hierhin korrekt? Wie bestimme ich hieraus die Basis des Kerns?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Na die hast Du dann doch schon bestimmt. Es ist


Was könnte dann wohl eine Basis sein?
pihalbe Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre dann genau der Vektor, der bei dir hinter dem t steht.

Allerdings ist das nicht der, der bei meinem Übungsblatt als Lösung angegeben steht.

Dort steht:
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern und Bild


Der Vektor ist also nicht im kern und daher erst recht keine Basis.
Kann es sein, dass die Matrix vielleicht eine Darstellung bzgl. unterschiedlicher Basen B und L ist?
 
 
pihalbe Auf diesen Beitrag antworten »

Die Matrix ist, wie im ersten Beitrag beschrieben, die Basiswechselmatrix der Basis A in B über die Funktion L (wenn ich das alles richtig verstanden habe): M(B,L,A)

Muss man dann anders vorgehen?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, je nachdem welche Basis Du zugrunde legst kommt halt eine andere Basis für den kern heraus. Daher wäre es schon gut zu wissen, was A und B ist.

Kleines Beispiel: f(x,y)=(x,x)
bzgl. der Standardbasis erhält man als Basis z.B. den Vektor (0,1)
Stellt man f aber bzgl. des Basis (1,1)(2,1) dar, dann ist f(1,1)=(1,1) und f(2,1)=(2,2)=2(1,1)+0(2,1) und Du erhältst beispielsweise (2,-1) als Basisvektor des kerns, denn
pihalbe Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, das wusste ich nicht. Ich habe das Thema noch nicht wirklich verstanden.

Die Basen lauten:





Meiner Meinung nach müsste der Kern(M), den wir oben bestimmt haben, nun in den Komponenten von A ausgedrückt werden (so jedenfalls habe ich dein Beispiel verstanden).

Dann würde ich für t=1 jedoch -a3 rausbekommen, was ja auch nicht sein kann...
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Der Basisvektor entspricht in A dem Vektor
pihalbe Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr gut, das habe ich jetzt verstanden. Ich hatte, bzw. habe, noch Probleme bei der Unterscheidung zwischen den Vektoren, die man aus der Schule so kennt, die sich alle auf die Elementarbasis beziehen und diesen allgemeinen Basen.

Vielen Dank für deine Hilfe Helferlein.

Nun komme ich zur nächsten Frage: Wie bestimme ich die Basis von Bild(L)? Ich weiß das, das Bild(L) alle Vektoren sind, die die Funktion L erzeugen kann. Nur wie kann ich die formal bestimmen?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Überleg Dir einmal, auf was die Basisvektoren abgebildet werden.
Wenn Du dann noch bedenkst, dass L linear ist, siehst Du vielleicht, wie man eine Bais des Bildraums bestimmen kann.
pihalbe Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, durch Linearkombination der Basisvektoren kann der ganze Vektorraum dargestellt werden.
Die Funktionswerte L(a) der drei Basisvektoren sind in der Aufgabenstellung gegeben. Zwei der Funktionswerte sind linear abhängig. Daher müsste die Basis des Bild dann der span der beiden linear unabhängigen Funktionswerte sein.

Richtig? smile

Bestimmt man so auch allgemein das Bild einer Matrix, bzw. einer Funktion?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Zwei der Funktionswerte sind linear abhängig


Die Formulierung ist nicht ganz treffend. Du meinst sicher, dass sich nur einer der drei Vektoren durch die anderen darstellen lässt. Der Bildraum ist demnach zweidimensional und wird durch die beiden verbleibenden Vektoren erzeugt.
pihalbe Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ja genau, die Formulierung war falsch, aber ich meinte das gleiche wie du.

Vielen Dank für deine Hilfe.

pihalbe
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