Surjektive Ringhomomorphismen

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08.12.2011, 21:09	Mandelbrötchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Surjektive Ringhomomorphismen Hallo zusammen, folgende Aufgabe macht mir leider gerade das Leben schwer (ich schätze ich sehe den Wald vor lauter Bäumen einfach nur nicht). Sei $\begin{eqnarray} R:=\mathbb Z /99 \mathbb Z \end{eqnarray}$ ein Ring. Zu zeigen ist, dass es surjektive Ringhomomorphismen von $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \mathbb F_3 \end{eqnarray}$ und auf $\begin{eqnarray} \mathbb F_{11} \end{eqnarray}$ gibt, jedoch keine auf $\begin{eqnarray} \mathbb F_9 \end{eqnarray}$ . Kam bisher leider nur soweit, dass ich sagen kann, dass $\begin{eqnarray} \mathbb F_{11} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb F_3 \end{eqnarray}$ Körper sind und $\begin{eqnarray} \mathbb F_9 \end{eqnarray}$ Nullteiler besitzt. Theoretisch kann ich konkrete Ringhomomorphismen angeben (glaube ich zumindest) aber ich denke es gibt sicher eine bessere Variante, bei der ich nicht so viel konkret rechnen muss und mit der ich mir eventuell das Überprüfen der Ringhomomorphismen Eigenschaften sparen kann. Außerdem denke ich, dass ich für den Beweis, dass es auf $\begin{eqnarray} \mathbb F_9 \end{eqnarray}$ keine surjektiven Ringhomomorphismen gibt, einen Widerspruchsbeweis verwenden sollte und ausnutzen sollte, dass es Nullteiler in der Bildmenge gibt gibt. Hoffe ihr habt Tips für mich. Würde mich schon über einen kleinen Stupser in die richtige Richtung freuen. Vielen Dank Mandelbrötchen
08.12.2011, 22:28	parkerstone	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_9 \end{eqnarray}$ ist ein Körper und als solcher Nullteilerfrei. Dagegen hat $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} / 9 \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ Nullteiler. Wenn man zeigen soll, dass etwas existiert ist es, falls möglich, praktisch immer am Besten es konkret anzugeben. Ich würde mir für die Nicht-Existenz hier die Ideale in beiden Ringen anschauen.
08.12.2011, 22:30	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit $\begin{eqnarray} \mathbb F_9 \end{eqnarray}$ ist ein neunelmentiger Körper gemeint. Dieser kann keine Nullteiler enthalten. Hilfreich ist vielleicht auch, dass es für jeden Ring B nur einen Ringhomomorphismus der Form $\begin{eqnarray} r : \mathbb Z / n \mathbb Z \to B \end{eqnarray}$ gibt.
08.12.2011, 22:33	Mandelbrötchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, $\begin{eqnarray} \mathbb F_9 \end{eqnarray}$ ist definiert als ein Körper mit 9 Elementen, oder täusche ich mich? Ja, habe für die Existenz jetzt eine zufridenstellende Lösung gefunden. Von welchen Ringen sprichst du? Die Ideale von $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ musste ich für die vorherige Teilaufgabe schon bestimmen, das wären $\begin{eqnarray} (0),(1),(3),(9),(11),(33) \end{eqnarray}$ und solltest du $\begin{eqnarray} \mathbb F_9 \end{eqnarray}$ meinen hat der ja als Körper nur die trivialen Ideale $\begin{eqnarray} \{0\}, \mathbb F_9 \end{eqnarray}$ . Und dass es nur einen Ringhomomorphismus geben kann, kommt doch dadurch zustande, dass ich für einen Ringhomomorphismus $\begin{eqnarray} f: \mathbb Z / n \mathbb Z \longrightarrow B \end{eqnarray}$ fordere, dass $\begin{eqnarray} f(1+n \mathbb Z)=1_B \end{eqnarray}$ und deswegen die restlichen Bilder über die Eigenschaften des Ringhomomorphismus schon "vorgegeben" habe, oder?
08.12.2011, 22:34	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal vorne weg: $\begin{eqnarray} \mathbb F_9 \end{eqnarray}$ IST ein Körper und hat dementsprechend auch keine Nullteiler. Für die Nichtexistenz eines Epimorphismus auf $\begin{eqnarray} \mathbb F_9 \end{eqnarray}$ : Wäre $\begin{eqnarray} \eta \end{eqnarray}$ ein solcher, so betrachte mal $\begin{eqnarray} \varphi := \eta \circ \pi \end{eqnarray}$ , wo $\begin{eqnarray} \pi: \mathbb Z \to \mathbb Z/99\mathbb Z \end{eqnarray}$ die kanonische Projektion ist. $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ist dann ein Epimorphismus $\begin{eqnarray} \mathbb Z \to \mathbb F_9 \end{eqnarray}$ . Wende auf $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ nun den Homomorphiesatz an und erkenne den Widerspruch. edit: bissl spät. Jetzt hast du verschiedene Varianten, du kannst du dir eine aussuchen
08.12.2011, 22:50	Mandelbrötchen	Auf diesen Beitrag antworten »
So, ich komme absolut mit bei der Ausführung, jedoch erkenne ich offensichtlich noch nicht direkt den Widerspruch. Ich kenne doch den $\begin{eqnarray} \mathrm{Ker}(\varphi) \end{eqnarray}$ nicht, kann ich dann schon sagen, dass $\begin{eqnarray} \mathbb Z / \mathrm{Ker}(\varphi) \end{eqnarray}$ nicht isomorph zu $\begin{eqnarray} \mathbb F_9 \end{eqnarray}$ ist? Oder kann ich doch Aussagen über den Kern treffen?
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08.12.2011, 22:55	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Kern ist ein Ideal, hat also die Form $\begin{eqnarray} n\mathbb Z \end{eqnarray}$ . Vergleicht man die Anzahl der Elemente in $\begin{eqnarray} \mathbb Z/n\mathbb Z \end{eqnarray}$ und in $\begin{eqnarray} \mathbb F_9 \end{eqnarray}$ , erhält man für n...
08.12.2011, 22:59	Mandelbrötchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde sagen n=9 aber das wäre ungünstig, denn dann hätte ich gleiche Mächtigkeit und das würde mich nicht zum Widerspruch führen...
09.12.2011, 07:41	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \mathbb Z/9\mathbb Z \cong \mathbb F_9 \end{eqnarray}$ ist kein Widerspruch? Das solltest du dir nochmal genauer angucken.
09.12.2011, 11:11	Mandelbrötchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann ich denn sagen, dass wenn $\begin{eqnarray} \mathbb Z / 9 \mathbb Z \cong \mathbb F_9 \end{eqnarray}$ , dass dann $\begin{eqnarray} n=9 \end{eqnarray}$ gelten muss, da $\begin{eqnarray} \mathbb Z /9 \mathbb Z \end{eqnarray}$ 9 Elemente haben muss, da es ja isomorph zu $\begin{eqnarray} \mathbb F_9 \end{eqnarray}$ ist? Genügt das als Begründung? Und ich habe zwar etwas mit unterschiedlichen Charakterisierungen von $\begin{eqnarray} F_9 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb Z /9 \mathbb Z \end{eqnarray}$ gefunden, das haben wir aber noch nicht definiert. Deswegen dachte ich an folgendes: $\begin{eqnarray} \varphi(0)= \varphi(9) = \varphi(3 \cdot 3) = \varphi(3) \cdot \varphi(3)=0 \Rightarrow \varphi(3)=0 \end{eqnarray}$ , denn $\begin{eqnarray} \mathbb F_9 \end{eqnarray}$ Körper. Also gilt $\begin{eqnarray} 0=\varphi(3)=\varphi(0) \end{eqnarray}$ und damit ist $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ nicht injektiv, also kein Isomorphismus, denn $\begin{eqnarray} 0 \ne 3 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb Z /9 \mathbb Z \end{eqnarray}$

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