Komplexe Zahlen

09.12.2011, 13:23

Soravias

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Komplexe Zahlen

Meine Frage:
Es seien a,b,c,d $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit ad - bc > 0 und $\begin{eqnarray*} z \in C \end{eqnarray*}$ mit cz $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ - d. Zeige, das für $\begin{eqnarray*} w : = \frac{az+b}{cz+d} \end{eqnarray*}$ gilt:
lmw > 0 <=> lmz > 0,
lmw < 0 <=> lmz < 0

Meine Ideen:
Bitte kann mir jemand helfen? Ich weiß absolut nicht was ich machen muss.

09.12.2011, 14:41

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Zahlen
Setze für z mal x+iy ein und fange an umzuformen. Wie weit kommst Du?

Viele Grüße
Steffen

09.12.2011, 14:47

Soravias

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also ich erhalte ja dann einmal $\begin{eqnarray*} \frac{a(x+iy)+b}{c(x+iy)+d} > 0 <=> x+iy > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{a(x+iy)+b}{c(x+iy)+d} < 0 <=> x+iy < 0 \end{eqnarray*}$

Nach was muss ich denn umformen?

09.12.2011, 14:53

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Soravias
also ich erhalte ja dann einmal $\begin{eqnarray*} \frac{a(x+iy)+b}{c(x+iy)+d} > 0 <=> x+iy > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{a(x+iy)+b}{c(x+iy)+d} < 0 <=> x+iy < 0 \end{eqnarray*}$

In der Aufgabe ist nur jeweils vom Imaginärteil die Rede.

Viele Grüße
Steffen

09.12.2011, 14:56

Soravias

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Also dann nach y umformen, weil y ja der Imaginärteil ist?

09.12.2011, 15:14

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Soravias
Also dann nach y umformen, weil y ja der Imaginärteil ist?

Einfacher geht es meines Erachtens, wenn Du den Imaginärteil von

$\begin{eqnarray*} \frac{a(x+iy)+b}{c(x+iy)+d} \end{eqnarray*}$

berechnest.

Viele Grüße
Steffen

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09.12.2011, 15:16

Soravias

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Also muss ich einfach alles nach y umstellen? oder wie? Sorry, aber ich komme mit der Aufgabe nicht wirklich klar

09.12.2011, 15:21

Steffen Bühler

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Keine Panik. Du sollst den Imaginärteil von

$\begin{eqnarray*} w = \frac{a(x+iy)+b}{c(x+iy)+d} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{ax+iay+b}{cx+icy+d} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{(ax+b)+i(ay)}{(cx+d)+i(cy)} \end{eqnarray*}$

herausfinden. Tip: mit dem konjugiert komplexen Nenner erweitern.

Viele Grüße
Steffen

09.12.2011, 15:27

Soravias

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Also dann [latex]\frac{(ax+b)+i(ay)}{(cx+d)+i(cy)} \frac{(cx+d)-i(cy)}{(cx+d)-i(cy)} /latex]

09.12.2011, 15:29

Soravias

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$\begin{eqnarray*} \frac{(ax+b)+i(ay)}{(cx+d)+i(cy)} \frac{(cx+d)-i(cy)}{(cx+d)-i(cy)} \end{eqnarray*}$

09.12.2011, 15:35

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Soravias
$\begin{eqnarray*} \frac{(ax+b)+i(ay)}{(cx+d)+i(cy)} \frac{(cx+d)-i(cy)}{(cx+d)-i(cy)} \end{eqnarray*}$

Prima. Fällt Dir im Nenner was auf?

Viele Grüße
Steffen

09.12.2011, 15:38

Soravias

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Kann man das als eine Art binomische Formel Schreiben? also ((cx+d)-(i(cy)))²

09.12.2011, 15:42

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Soravias
Kann man das als eine Art binomische Formel Schreiben?

Ja!

Zitat:

also ((cx+d)-(i(cy)))²

Ich glaube, Du meinst eher (a+b)(a-b) mit a=cx+d und b=icy.

Viele Grüße
Steffen

09.12.2011, 15:44

Soravias

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((cx+d)+icy)((cx+d)-icy)

So müsste es ja dann Stimmen. Wie muss ich dann weiter vorgehen?

09.12.2011, 15:47

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Soravias
((cx+d)+icy)((cx+d)-icy)

So müsste es ja dann Stimmen. Wie muss ich dann weiter vorgehen?

Nach der dritten binomischen umformen und dabei i²=-1 beachten.

Viele Grüße
Steffen

10.12.2011, 09:18

Soravias

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Wenn ich das ausmultipliziere, erhalte ich c²x²-i²x²y² = c²x²c²y² = c²(x²+y²)

10.12.2011, 09:20

Soravias

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c²x²+c²y² meinte ich

11.12.2011, 14:25

Steffen Bühler

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Zitat:

((cx+d)+icy)((cx+d)-icy)

Zitat:

Original von Soravias
Wenn ich das ausmultipliziere, erhalte ich c²x²-i²x²y² =

...

Zitat:

Original von Soravias
c²x²+c²y²

Stimmt nur fast. Du unterschlägst das d. Also: was ergibt

((cx+d)²+(cy)²) ?

Viele Grüße
Steffen

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