Vektorräume bestimmen

09.12.2011, 15:09

OrangeneMusik

Vektorräume bestimmen

Meine Frage:
Welche der folgenden Strukturen $\begin{eqnarray*} V, \mathbb K, +, \times \end{eqnarray*}$ sind Vektorräume? Welche nicht?
Ich verstehe das alles noch nicht...
Habe mir ein paar Sachen rausgesucht:

(1)
$\begin{eqnarray*} V:={(x,y,z)\in \mathbb R ^{3} : x^{2} + y^{2} +xz =4z^{2} }, \mathbb K = \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit der üblichen Addition und Skalarmultiplikation

(2)
$\begin{eqnarray*} V:=\mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb K := \mathbb R \end{eqnarray*}$ , mit der üblichen Skalarmultiplikation und der Addition von Vektoren
de finiert durch
$\begin{eqnarray*} a+b=|a+b| \end{eqnarray*}$
Hierin bezeichnet $\begin{eqnarray*} |x| \end{eqnarray*}$ die kleinste ganze Zahl $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\leq n \end{eqnarray*}$ .

(3)
Sei A eine $\begin{eqnarray*} m\times n \end{eqnarray*}$ Matrix (mit Einträge in $\begin{eqnarray*} \mathbb K = \mathbb R \end{eqnarray*}$ ). Wir de nieren V durch
$\begin{eqnarray*} V:={n\times m} \end{eqnarray*}$ Matrizen mit Einträgen in $\begin{eqnarray*} {\mathbb R :AX=I_{m} } \end{eqnarray*}$
mit der üblichen Addition und Skalarmultiplikation.

(4)
$\begin{eqnarray*} V:= {{(x_{1}, x_{2}, x_{3})\in \mathbb R^{3} : x_{1}+5x_{2}=4x_{3} }} , \mathbb K=\mathbb R <br /> \end{eqnarray*}$ mit der üblichen Addition und Skalarmultiplikation.

Meine Ideen:
Ich hab das alles noch nicht wirklich vesrtanden - brauche BITTE erstmal Ideen...

09.12.2011, 15:19

tigerbine

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Idee:

Definition Vektorraum anschauen.

10.12.2011, 11:56

OrangeneMusik

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biitte einmal Hilfestellung
Hey an Alle!

Bitte zeigt einer mir ein Mal wie ich das Beweise...
Ich kenne die Definition und so auch die ganzen Axiome,
aber ich verstehe die Aufgabe nicht wirklich.
Ich habe keine Ahnung, wie ich jetzt beweisen kann, dass es ein Vektorraum ist/ nicht ist.

Vielen Dank
OrangeneMusik

10.12.2011, 13:00

Elvis

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Wenn ein Axiom nicht erfüllt ist, ist eine Menge kein Vektorraum. Wenn alle Axiome erfüllt sind, ist eine Menge ein Vektorraum.
Für Teilmengen von Vektorräumen gibt es das Untervektorraumkriterium, damit geht vieles leichter.

10.12.2011, 13:50

OrangeneMusik

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wenn ich jetzt die Axiome auf das vierte Beispiel anwenden will -
$\begin{eqnarray*} V:= {(x_{1}, x_{2}, x_{3} )\in \mathbb R^{3} : x_{1} + 5x_{2} = 4x_{3} } \end{eqnarray*}$

wäre das dann für das erste Axiom:
$\begin{eqnarray*} x+5y=4z<br /> \Rightarrow (x+5y)-4z = x+(5y-4z) \end{eqnarray*}$

und fürs zweite:
$\begin{eqnarray*} x+5y=4z=5y+x \end{eqnarray*}$

und dass dann noch mit den anderen Axiomen?
Reicht es, nur die Axiome anzuwenden? Was soll denn dann am Ende rauskommen? Das simmt doch immer, oder?

Wie sähe denn eine Struktur aus, die kein Vektorraum ist?

10.12.2011, 14:42

tigerbine

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Du liest viel zu ungenau.

Zitat:

(1)
$\begin{eqnarray*} V:={(x,y,z)\in \mathbb R ^{3} : x^{2} + y^{2} +xz =4z^{2} }, \mathbb K = \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit der üblichen Addition und Skalarmultiplikation

Was bedeutet "Element von IR³"? Wichtige Information. Elvis sagte

Zitat:

Für Teilmengen von Vektorräumen gibt es das Untervektorraumkriterium, damit geht vieles leichter.

[Artikel] Untervektorraum

Ansonsten gilt es eben, all das zu überprüfen, was in der Definition eines Vektorraums steht. Ist alles erfüllt, dann ist es ein VR, sonst eben nicht. smile

10.12.2011, 17:46

Elvis

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Zitat:

Original von OrangeneMusik
wenn ich jetzt die Axiome auf das vierte Beispiel anwenden will -
$\begin{eqnarray*} V:= {(x_{1}, x_{2}, x_{3} )\in \mathbb R^{3} : x_{1} + 5x_{2} = 4x_{3} } \end{eqnarray*}$

wäre das dann für das erste Axiom:
$\begin{eqnarray*} x+5y=4z<br /> \Rightarrow (x+5y)-4z = x+(5y-4z) \end{eqnarray*}$

und fürs zweite:
$\begin{eqnarray*} x+5y=4z=5y+x \end{eqnarray*}$

und dass dann noch mit den anderen Axiomen?
Reicht es, nur die Axiome anzuwenden? Was soll denn dann am Ende rauskommen? Das simmt doch immer, oder?

Wie sähe denn eine Struktur aus, die kein Vektorraum ist?

Oh nein. Das ergibt keinen Sinn. unglücklich

Bitte erst lernen, was ein Vektorraum ist, und dann versuchen Aufgaben zu lösen.

10.12.2011, 18:39

OrangeneMusik

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@ Elvis

dann hilf mir doch bitte einmal.
Wenn ich einmal so einen Beweis gesehen habe - dann habe ich ihn auch verstande - aber im Moment ist in meinem Kopf vollsperre.
Was soll ich denn mit den Axiomen machen?
Danke

10.12.2011, 19:58

Elvis

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Ich glaube nicht, dass dir ein Beweis hilft. Dir fehlen die Grundsätze und Beispiele. Klar, dass du uns nicht glaubst, aber du musst erst lernen und dann verstehen.

z.B. ist 4) offensichtlich eine Ebene im R³, also ein Vektorraum.

Na bitte, ich habe doch gesagt, das hilft dir nicht weiter.

06.01.2012, 09:08

OrangeneMusik

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"Lösung"
hab mir neue Gedanken gemacht:

(1)
$\begin{eqnarray*} (x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2) \in V \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x_1+x_2)^2+ (y_1+y_2)^2+ (x_1+x_2) (y_1+y_2) = 4 (z_1+z_2)^2 \end{eqnarray*}$
Gegenbeispiel: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Einsetzen liefert: 15=16, was nicht stimmt -

(2)
1) zzg $\begin{eqnarray*} V\neq leer, V= \mathbb R \end{eqnarray*}$
2) zzg "+" abgeschlossen: Sei $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a+b=|a+b|\in \mathbb R =V \end{eqnarray*}$
3) zzg Assorpiativität: $\begin{eqnarray*} a,b,c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a+(b+c)= |a+|b+c|| = ||a+b|+c| \end{eqnarray*}$
Gegenbeispiel: a=0. b=0, c=5 $\begin{eqnarray*} |a+|b+c||=1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ||a+b|+c=2 \end{eqnarray*}$
4) neutrales Element: zzg: $\begin{eqnarray*} \exists N \in \mathbb V \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Schnittmenge v\in \mathbb V \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} v+m=v <=> |v+N|=V \end{eqnarray*}$
Sei v= 0,5, dann gilt $\begin{eqnarray*} Schnittmenge.N \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |0,5+N|\neq 0,5 \end{eqnarray*}$

(3)
$\begin{eqnarray*} A \times 0 = I_m \end{eqnarray*}$ Nullement existiert nicht
$\begin{eqnarray*} A(X_1+X_2)= AX_1+AX_2 = 2I_m \end{eqnarray*}$
stimmt also nicht

(4)
Die Lösungsmenge eines homogenen LGS ist ein UVR von R^n

Zufrieden Elvis?

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