Problem beim Berechnen einer Verteilungsfunktion

09.12.2011, 16:11

traveler

Problem beim Berechnen einer Verteilungsfunktion

Meine Frage:
Hallo zusammen.

Habe ein Problem aus gegebener Dichtefunktion die Verteilungsfunktion zu berechnen.
Bekannt ist

$\begin{eqnarray*} f: & \mathbb{R}^{2}\to\left[0,\infty \right)& (x,y) \mapsto \begin{cases} c, & 0\leq |x|+|y|\leq 1 \\ 0, & \mbox{sonst.} \end{cases} \end{eqnarray*}$

c habe ich mir ausgerechnet und bin auf den Wert $\begin{eqnarray*} & \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ gekommen. Hoffe das ist mal richtig??

Doch wie komme ich nun auf die Verteilungsfunktion?

Meine Ideen:
Die Formel lautet ja

$\begin{eqnarray*} F(x,y) = \int^{x}_{-\infty} \int^{y}_{-\infty} f(u,v) du dv \end{eqnarray*}$ .

Habe bereits probiert für das äußere Integral die Grenzen 0 bis x und für das innere Integral die Grenzen 1-x bis 0 zu verwenden und dann das Ganze *4 zu rechnen.
Ich würde dann für F(x,y) auf 2x(y-1+x) kommen. Bin mir aber sehr unsicher bei dem Ergebnis.
Weiters muss man sicher mehrere Fälle für die Bereiche von x und y betrachten... da habe ich gar keinen Plan und stehe irgendwie auf der Leitung.

Bitte um hilfreiche Ratschläge! smile

09.12.2011, 17:07

Math1986

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RE: Problem beim berechnen einer Verteilungsfunktion

Zitat:

Original von traveler

Meine Ideen:
Die Formel lautet ja

$\begin{eqnarray*} F(x,y) = \int^{x}_{-\infty} \int^{y}_{-\infty} f(u,v) du dv \end{eqnarray*}$ .

Nein

Die Verteilungsfunktion ist definiert als
$\begin{eqnarray*} F(x):=P(X\leq x) \end{eqnarray*}$
was was ganz anderes ist als das, was du dahin geschrieben hast.

09.12.2011, 17:25

HAL 9000

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@Math1986

Es gibt auch sowas wie zweidimensionale Verteilungsfunktionen. Dein Einwand ist vom Thema her also völlig verfehlt. unglücklich

@traveler

Das ganze läuft auf eine einigermaßen eklige Fallunterscheidung hinaus: Als Beispiel mal $\begin{eqnarray*} F(0.6,0.2) \end{eqnarray*}$ im Bild:

Es wird also aus dem "gekippten Quadrat" alles, was links unten der Ecke $\begin{eqnarray*} x\leq 0.6,y\leq 0.2 \end{eqnarray*}$ liegt, ausgeschnitten. Die Fläche des so herausgeschnittenen Gebietes ist (natürlich noch mit dem Faktor 1/2 versehen) der gesuchte Verteilungsfunktionswert.

09.12.2011, 17:43

Math1986

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Zitat:

Original von HAL 9000
@Math1986

Es gibt auch sowas wie zweidimensionale Verteilungsfunktionen. Dein Einwand ist vom Thema her also völlig verfehlt. unglücklich

Ja, aber hier ist die Zufallsvariable doch reellwertig, also eindimensional, wie ist da eine zweidimensionale Verteilungsfunktion definiert? verwirrt

Genau wie oben?
Wenn ja ziehe ich meinen Einwand zurück.

09.12.2011, 18:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von Math1986
Ja, aber hier ist die Zufallsvariable doch reellwertig, also eindimensional

Wer sagt das denn? Wie kann es denn um eine reellwertige Zufallsgröße gehen, wenn die Dichte $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ gegeben ist? unglücklich

09.12.2011, 18:09

Math1986

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Math1986
Ja, aber hier ist die Zufallsvariable doch reellwertig, also eindimensional

Ja, aber die Funktion nimmt Werte in $\begin{eqnarray*} [0,\infty) \end{eqnarray*}$ an, von daher würde IMHO die Definition
$\begin{eqnarray*} F(x):=P(X\leq x) \end{eqnarray*}$
besser passen..

Oder verstehe ich da gerade was grundsätzliches falsch? geschockt

09.12.2011, 18:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von Math1986
Ja, aber die Funktion nimmt Werte in $\begin{eqnarray*} [0,\infty) \end{eqnarray*}$ an

Von welcher Funktion redest du da? Von der Dichtefunktion?

Jetzt solltest du aber langsam mal merken, dass du dich da grandios verrannt hast: Die Dichtefunktion nimmt immer reelle, nichtnegative Werte an, egal ob es sich um ein- oder mehrdimensional stetige Zufallsvektoren handelt. Ein Blackout sei jedem gegönnt, aber irgendwann mal muss er sich auch lösen. Augenzwinkern

09.12.2011, 19:01

Math1986

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Math1986
Ja, aber die Funktion nimmt Werte in $\begin{eqnarray*} [0,\infty) \end{eqnarray*}$ an

Autsch, ja nun sehe ich es auch. Bitte meine Beiträge ignorieren unglücklich

09.12.2011, 19:17

traveler

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Zitat:

Original von HAL 9000
Es wird also aus dem "gekippten Quadrat" alles, was links unten der Ecke $\begin{eqnarray*} x\leq 0.6,y\leq 0.2 \end{eqnarray*}$ liegt, ausgeschnitten. Die Fläche des so herausgeschnittenen Gebietes ist (natürlich noch mit dem Faktor 1/2 versehen) der gesuchte Verteilungsfunktionswert.

Danke für die Antwort!
Jedoch hänge ich hier trotzdem...

Ein Ansatz wäre:

$\begin{eqnarray*} F(x,y) = \begin{cases} 0, & ?\\2x(y-1+x), & 0\leq |x|+|y|\leq 1\\ 1, & ?\end{cases} \end{eqnarray*}$

Der Ausdruck $\begin{eqnarray*} 0\leq |x|+|y|\leq 1 \end{eqnarray*}$ beschreibt ja genau das von dir beschriebene, am Kopf stehende Quadrat, oder?
Deshalb hab ich für diesen Bereich auch den für F(x,y) ausgerechneten Wert genommen.
Falls man sich außerhalb dieses Gebiets befindet, muss die Wahrscheinlichkeit ja 0 oder 1 sein, dann hätte man 3 Fälle.
Ich weiß nur nicht, wie ich auf die einzelnen Fälle komme, bzw. das mit einer Fallunterscheidung angehen soll...
Danke für eure Hilfe!

Lg

09.12.2011, 19:23

HAL 9000

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Ich weiß nicht, wie die tatsächliche Gestalt der Verteilungsfunktion ist, aber deine ist es gewiss nicht. Denn bei deinem Ansatz ist $\begin{eqnarray*} F(0,y)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} -1\leq y\leq 1 \end{eqnarray*}$ , was gewiss falsch ist: Es ist $\begin{eqnarray*} F(0,1)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , wie man an obiger Skizze rasch nachvollziehen kann.

Wie ich schon sagte, es wird eine ekelhafte Fallunterscheidung bzgl. $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ , weil die zusammenzustückelnden Flächen in den einzelnen Fällen doch sehr unterschiedlich sind.

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