Lineare Abbildungen

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Lordi Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildungen
Meine Frage:
F: R^n -->R^n, x=(xo,x1,....,xn-1)|--> (x1,....,xn-1,f(x))
f(x):= x1+x2+x4

a.)Untersuchen Sie ob die Abbildung aus 22b bijektiv ist.

Meine Ideen:
Ich hab irgendwie keine Idee wie ich das machen soll...
Hilft es mir weiter zu überprüfen ob die Abbildung linear ist?
Dann könnte ich ja gucken ob die Abbildung injektiv und surjektiv ist, da ja beides gelten muss damit sie bijektiv ist. Ich weiß aber nicht wie ich da anfangen soll...
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildungen
Also F soll so aussehen:





Auf Linearität kannst du zwar prüfen, wenn du willst, aber das hat ja eigentlich nichts mit der Aufgabe zu tun. Es geht doch nur um Bijektivität, oder?

Anfangen würde ich eigentlich mal mit "hingucken". Sind denn die Definitionen von Injektivität und Surjektivität klar? Vielleicht findest du für beides ja ruckzuck ein Gegenbeispiel.

Auffällig ist ja zum Beispiel, dass im Bild nirgends mehr auftritt, oder?
 
 
Lordi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildungen
Zitat:
Original von Mulder
Also F soll so aussehen:





Auf Linearität kannst du zwar prüfen, wenn du willst, aber das hat ja eigentlich nichts mit der Aufgabe zu tun. Es geht doch nur um Bijektivität, oder?

Anfangen würde ich eigentlich mal mit "hingucken". Sind denn die Definitionen von Injektivität und Surjektivität klar? Vielleicht findest du für beides ja ruckzuck ein Gegenbeispiel.

Auffällig ist ja zum Beispiel, dass im Bild nirgends mehr auftritt, oder?


Wir sollten auch auf Linearität prüfen in der Aufgabe vorher. Da kam ich auch erst nicht weiter und dachte mir ich erwähn das vllt noch so nebenbei.
Also Injektivität sagt, dass jedes Element nur einmal abgebildet wurde.
Surjektivität sagt, dass ein Element aus Bild F auch mehrmals abgebildet werden kann.


Das mit fand ich am Anfang auch auffällig. Aber könnte ja sein...ABER wenn ich nun ein Beispiel für Zahlen gebe wo ungleich ist, würde ich doch die Bijektivität widerlegen?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildungen
Zitat:
Original von Lordi
Wir sollten auch auf Linearität prüfen in der Aufgabe vorher. Da kam ich auch erst nicht weiter und dachte mir ich erwähn das vllt noch so nebenbei.

Ach so, das war nicht ersichtlich. Hat das denn nun geklappt? Es ist ja eigentlich nur total stures Rechnen.

Zitat:
Original von Lordi
Also Injektivität sagt, dass jedes Element nur einmal abgebildet wurde.
Surjektivität sagt, dass ein Element aus Bild F auch mehrmals abgebildet werden kann.

Nein, das ist völlig falsch. Klar, dass du mit der Aufgabe Probleme hast, wenn du die Definitionen nicht kennst oder falsch verstanden hast. Ich würde sagen, schlag die nochmal nach.
Lordi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildungen
Zitat:
Original von Mulder
Zitat:
Original von Lordi
Wir sollten auch auf Linearität prüfen in der Aufgabe vorher. Da kam ich auch erst nicht weiter und dachte mir ich erwähn das vllt noch so nebenbei.

Ach so, das war nicht ersichtlich. Hat das denn nun geklappt? Es ist ja eigentlich nur total stures Rechnen.

Zitat:
Original von Lordi
Also Injektivität sagt, dass jedes Element nur einmal abgebildet wurde.
Surjektivität sagt, dass ein Element aus Bild F auch mehrmals abgebildet werden kann.

Nein, das ist völlig falsch. Klar, dass du mit der Aufgabe Probleme hast, wenn du die Definitionen nicht kennst oder falsch verstanden hast. Ich würde sagen, schlag die nochmal nach.



Ja hat wohl glaub ich geklappt. Oder soll ich das auch nochmal posten?

Also angenommen wir haben F: V --> W
Also injektiv: zu jedem Element w des Bildes existiert höchstens ein Element v aus V
surjektiv: zu jedem Element w des Bildes existiert mindestens ein Element v aus V
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildungen
Zitat:
Original von Lordi
Ja hat wohl glaub ich geklappt. Oder soll ich das auch nochmal posten?

Wenn du meinst, dass du es richtig hast, musst du das nicht, das ist deine Sache.

Zitat:
Original von Lordi
Also angenommen wir haben F: V --> W
Also injektiv: zu jedem Element w des Bildes existiert höchstens ein Element v aus V
surjektiv: zu jedem Element w des Bildes existiert mindestens ein Element v aus

Ich würde da lieber "Urbild" schreiben. Nun wieder zurück zum Anfang: Hingucken!

Kannst du zum Beispiel zwei Elemente angeben, die auf das gleiche Bildelement abgebildet werden? Dann wäre die Injektivität widerlegt.

Gleiches für die Surjektivität. Siehst du vielleicht ein Element aus dem Bild, das kein Urbild hat?
Lordi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildungen
Zitat:


Kannst du zum Beispiel zwei Elemente angeben, die auf das gleiche Bildelement abgebildet werden? Dann wäre die Injektivität widerlegt.

Gleiches für die Surjektivität. Siehst du vielleicht ein Element aus dem Bild, das kein Urbild hat?


Ich würde sagen, dass f(x) kein Urbild hat. Es sei denn x_0 wird darauf abgebildet. Kann ich den Fall denn ausschließen?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildungen
Nein, das ist ja nun komplett am Thema vorbei. Das Bild ist der R^n. Also sieht ein w aus W immer so aus:



wobe die beliebige reelle Zahlen sind. Du müsstest nun ein w suchen, für das kein Element v in V (V ist in unserem Fall ebenfalls der R^n) existiert, das unter f auf w abgebildet wird. Da ist ein bisschen Kreativität gefragt. Notfalls schadet es auch nicht, mal etwas länger als 2 Minuten nachzudenken.
Lordi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildungen
Zitat:
Original von Mulder
Nein, das ist ja nun komplett am Thema vorbei. Das Bild ist der R^n. Also sieht ein w aus W immer so aus:



wobe die beliebige reelle Zahlen sind. Du müsstest nun ein w suchen, für das kein Element v in V (V ist in unserem Fall ebenfalls der R^n) existiert, das unter f auf w abgebildet wird. Da ist ein bisschen Kreativität gefragt. Notfalls schadet es auch nicht, mal etwas länger als 2 Minuten nachzudenken.


Ich komme da gerade kein Stück voran...
Hatte übrigens vergessen zu schreiben das n größer gleich 5 ist. Ändert aber nix oder?
Du verlangst doch gerade von mir, dass ich ein konkretes Beispiel für ein w suche, womit ich die Injektivität oder Surjektivität widerlege, bin ich soweit richtig?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildungen
Zitat:
Original von Lordi
Hatte übrigens vergessen zu schreiben das n größer gleich 5 ist. Ändert aber nix oder?

Dass n größergleich 5 sein muss, ist logisch, sonst wäre die Abbildung F etwas sinnfrei. Von daher ändert das nichts, nein. Das war auch so schon klar.

Zitat:
Original von Lordi
Du verlangst doch gerade von mir, dass ich ein konkretes Beispiel für ein w suche, womit ich die Injektivität oder Surjektivität widerlege, bin ich soweit richtig?

Ich "verlange" gar nichts, ich gebe dir nur Hinweise. Augenzwinkern Ich meine wirklich konkrete Beispiele, mit ganz konkreten Zahlen, ja.
Lordi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildungen
Zitat:

Ich "verlange" gar nichts, ich gebe dir nur Hinweise. Augenzwinkern


Das spornt aber zum nachdenken an...Bestimmt ist das mega einfach und ich sitz hier 3 Stunden dran.

Also wenn ich deine Tipps betrachte muss es ja irgendwas mit dem X0 zu tun haben.
Ich hab so überlegt, wenn ich z.B.
X |--> X² habe, dann wäre es ja beispielsweise nicht injektiv, da 3 und -3 auf 9 abgebildet werden.

Das müsste ich doch nun für das Beispiel einfach nur weiterdenken?

ich glaub mir fehlt auch irgendwie die Vorstellung dafür wie genau ich da jetzt mein Bild erhalte...ch glaube das ist das Problem was mich irgendwie blockiert
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildungen
Zitat:
Original von Lordi
Ich hab so überlegt, wenn ich z.B.
X |--> X² habe, dann wäre es ja beispielsweise nicht injektiv, da 3 und -3 auf 9 abgebildet werden.

Richtig, genau nach dem gleichen Prinzip funktioniert es hier auch.

Zitat:
Original von Lordi
ich glaub mir fehlt auch irgendwie die Vorstellung dafür wie genau ich da jetzt mein Bild erhalte...ch glaube das ist das Problem was mich irgendwie blockiert

Vielleicht mal ein Beispiel, was F eigentlich macht? Nehmen wir mal



Das wird abgebildet auf



Die 3 ist der Eintrag mit dem f(x), denn dazu müssen wir die zweite, die dritte und die fünfte Komponente von v addieren. Wir haben hier überall nur Einsen, also 1+1+1=3. Schau nochmal oben nach, wie F definiert wurde, insbesondere wie f(x) aussieht. Und nochmal der Hinweis, dass der allererste Eintrag von v, was oben unserem entspricht, im Bildelement überhaupt nicht berücksichtigt wird. Damit haben wir die Injektivität doch schnell widerlegt. Mach es dir ganz einfach!

Diese Abbildung, die wir hier betrachten, sieht zunächst etwas komplizierter aus als einfach nur x -> x^2, davon lässt man sich dann schnell mal aus dem Konzept bringen. Aber es klappt hier genau so.

Und ja, es ist wirklich "megaeinfach". Wenn du die Lösung hast, wirst du das genau so sehen.
Lordi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildungen
Zitat:
Original von Mulder
Zitat:
Original von Lordi
Ich hab so überlegt, wenn ich z.B.
X |--> X² habe, dann wäre es ja beispielsweise nicht injektiv, da 3 und -3 auf 9 abgebildet werden.

Richtig, genau nach dem gleichen Prinzip funktioniert es hier auch.

Zitat:
Original von Lordi
ich glaub mir fehlt auch irgendwie die Vorstellung dafür wie genau ich da jetzt mein Bild erhalte...ch glaube das ist das Problem was mich irgendwie blockiert

Vielleicht mal ein Beispiel, was F eigentlich macht? Nehmen wir mal



Das wird abgebildet auf



Die 3 ist der Eintrag mit dem f(x), denn dazu müssen wir die zweite, die dritte und die fünfte Komponente von v addieren. Wir haben hier überall nur Einsen, also 1+1+1=3. Schau nochmal oben nach, wie F definiert wurde, insbesondere wie f(x) aussieht. Und nochmal der Hinweis, dass der allererste Eintrag von v, was oben unserem entspricht, im Bildelement überhaupt nicht berücksichtigt wird. Damit haben wir die Injektivität doch schnell widerlegt. Mach es dir ganz einfach!

Diese Abbildung, die wir hier betrachten, sieht zunächst etwas komplizierter aus als einfach nur x -> x^2, davon lässt man sich dann schnell mal aus dem Konzept bringen. Aber es klappt hier genau so.

Und ja, es ist wirklich "megaeinfach". Wenn du die Lösung hast, wirst du das genau so sehen.


Yes. Ich glaub ich habs:
Also Beispiel für n=5

W=(1,0,1,1,2)

Dann hätten wir ja für das Urbild: (x0,1,0,1,1)

So: Und X0 können wir ja wählen wie wir wollen, da es im Urbild nicht vorkommt.
Also würde z.b. sowohl (2,1,0,1,1) als auch (3,1,0,1,1) auf das oben definierte w abgebildet werden.

=> Injektivität nicht gegeben, somit auch keine Bijektivität
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildungen
Na also. Freude

Natürlich ist n=5 nur ein Beispiel, du musst es noch für n allgemein aufschreiben, aber das Prinzip ist ja klar. ist der Schlüssel.
Lordi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildungen
Zitat:
Original von Mulder
Na also. Freude

Natürlich ist n=5 nur ein Beispiel, du musst es noch für n allgemein aufschreiben, aber das Prinzip ist ja klar. ist der Schlüssel.


Besten Dank für die Hilfe!
Das man auf solche Sachen nicht gleich kommt...
Muss ich das unbedingt für n allgemein aufschreiben oder reicht das konkrete Gegenbeispiel nicht als Beweis?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildungen
Zitat:
Original von Lordi
Muss ich das unbedingt für n allgemein aufschreiben oder reicht das konkrete Gegenbeispiel nicht als Beweis?

Nein, das musst du allgemein machen. Du hast nun gezeigt, dass F für n=5 nicht injektiv ist. Aber das widerlegt noch nicht, dass F zum Beispiel für n=6 oder n=1000 nicht doch injektiv wäre (auch wenn das intuitiv klar ist). Die Aufgabe lautet ja, es für jedes n zu widerlegen.

Übrigens kannst du es dir auch noch viel einfacher machen. Beispiel:

und

Werden beide auf abgebildet. Ergo nicht injektiv.

So würde ich es dann auch für n allgemein machen. (mit der Pünktchenschreibweise wie oben kannst du das ja leicht machen).

Vielleicht schadet es als Übung auch nicht, zusätzlich noch die Surjektivität zu widerlegen. Aber das ist natürlich deine Sache.
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