Geeignete Funktion zur Anwendung des Banachschen Fixpunktsatz

10.12.2011, 12:38	Michael Hahn	Auf diesen Beitrag antworten »
Geeignete Funktion zur Anwendung des Banachschen Fixpunktsatz Hallo, gegeben ist das folgende Gleichungssystem: $\begin{eqnarray} 2x-y=0.1 e^x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -x+2y=0.1e^y \end{eqnarray}$ und man soll nun mit dem BF zeigen dass das NGS in der Umgebung [-1,1] x [-1,1] eine Lösung besitzt. Dazu muss man ja eine geeignete Funktion $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ finden, die auf dem Intervall selbstabbildend und kontraktiv ist. Hab schon $\begin{eqnarray} \Phi(x,y) = \begin{pmatrix} 2y-0.1e^y \\ 2x-0.1e^x \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ausprobiert und auch $\begin{eqnarray} \Phi(x,y) = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2y-0.1e^y-x \\ 2x-0.1e^x-y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x-2y+0.1e^y \\ 2y-2x+0.1e^x \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist keine Selbstabbildung auf dem Intervall... Hat jemand eine Idee, was für eine Funktion ich hier verwenden könnte? Gruß, Michael
18.12.2011, 15:29	ComplexP	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Also soweit ich das sehe muss man das gegebene GS erstmal in eine Fixpunktgleichung (siehe auch "Fixpunktiteration" -> Wikipedia) umformen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}x + \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}y = 0.1\begin{pmatrix} e^x \\ e^y \end{pmatrix} \Leftrightarrow \frac{1}{20}\begin{pmatrix} e^x \\ e^y \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt muss noch gezeigt werden, dass die Abbildung $\begin{eqnarray} \Phi(x,y) = \frac{1}{20}\begin{pmatrix} e^x \\ e^y \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Lipschitz-Stetig (mit euklidischer Norm, würde ich annehmen) und eine Kontraktion auf [-1,1] x [-1,1] ist. Das habe ich allerdings selber noch nicht hinbekommen, aber vielleicht hilft dir das soweit schonmal weiter. Der Ansazt ist aber denke ich nicht falsch. Denn wenn obige Abbildung die genannten Bedingungen erfüllt, dann ist der Fixpunkt der Fixpunktgleichung (der nach dem Banachschen Fixpunktsatz dann existiert und eindeutig ist) gleichzeitig die Lösung des gegebenen GS.

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