Beweis von Unterräumen

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OrangeneMusik Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis von Unterräumen
Meine Frage:
Haben gerade mit Vektorräumen und Unterräumen angefangen
und sollen jetzt als HA ein paar Unterräume beweisen.
Und ich wollte man fragen, ob meine Ansätze stimmen...

Es gilt immer K=R

(1)
V = {nxn Matrizen mit Einträge in R},
U = {nxn Matrizen mit Einträge in Q}.

(2)
V = Rhoch4,
U = {(x1; x2; x3; x4) Element von V: x3 = 0}.

(3)
V = {nxn Matrizen mit Einträge in R},
U = {nxn Matrizen mit Einträge in R und Spur gleich Null}.

(4)
V = Rhoch4,
U = {(x1; x2; x3; x4) Element von V : x3 = 1}




Meine Ideen:
zu (1) habe ich mir gedacht:
Die Einträge sind a[1,1] , ... , a[n,n]
U ist nicht lehr, da 0=0*a[1,1] + ... + 0*a[n,n]
v=m[1]*a[1,1] + ... + m[n]*a[n,n]
w=l[1]*a[1,1] + ... + l[n]*a[n,n]
Zur Addition: v+w= (m[1]+l[1])*a[1,1] + ... + [m[n]+l[n])*a[n,n]
Zur Skalarmultiplikation: k*v= (k*m[1])*a[1,1] + ... + (k*m[n])*a[n,n]
Also ist U eine Unterraum von V

Stimmt das?
So würde ich dann auch weitermachen...
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist grässlich zu lesen, bitte verwende unseren Formeleditor, um die Aufgaben angemessen darzustellen.

In der ersten Aufgabe ist U kein Unterraum von V, was du genau gemacht hast, kann ich nicht entziffern.
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo orangenemusik,
der iorek ist mir schon zuvorgekommen, aber ich wollte dir auch sagen, dass
bei der ersten aufgabe U kein unterraum von V ist. Das problem ist nämlich,
das in U nur einträge aus Q sein dürfen, und was passiert, wenn man bei
der skalarmultiplikation eine matrix aus U mit einer irrationalen zahl multipliziert?
gruss ollie3
OrangeneMusik Auf diesen Beitrag antworten »

zu (1)

Die Einträge sind
U ist nicht lehr, da



Zur Addition:

Zur Skalarmultiplikation:

Doch da bei Multiplikation mit einer irrationalen Zahl das Produkt nicht mehr Element von Q ist, ist
U keine Unterraum von V

stimmt das so?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Die Elemente deiner Menge sind doch Matrizen, du hast bei aber dir reelle bzw. rationale Zahlen stehen.

Anstatt dich mit den Unterraumkriterien rumzuschlagen, solltest du hier auch einfach ein Gegenbeispiel angeben; nimm dir eine einfache Matrix, die in der Menge liegt und multipliziere diese dann einmal mit einer reellen Zahl, sodass die Einträge der Matrix nicht mehr rational sind.
OrangeneMusik Auf diesen Beitrag antworten »
(2)
(2)


Der Unterraum ist nicht lehr: er ist linear abhängig:
Die Zahl vor ist beliebig, damit das Produkt der beiden =0 ist.

Daraus folgt es ist kein Unterraum!
 
 
OrangeneMusik Auf diesen Beitrag antworten »
zu (1)
Also ein Gegenbeispiel wäre doch:


Aber würde denn die Rechnung auch stimmen?
Stimmt - ein Gegenbeispiel ist ne gute Idee...
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre ein Gegenbeispiel, wenn du den Raum der Matrizen betrachtest, du hast hier aber den Raum der Matrizen.

Zur zweiten Aufgabe:
die Menge ist nicht leer, warum?. Und wieso sollte es linear abhängig sein? Auch deine weiteren Ausführungen ergeben keinen Sinn.
OrangeneMusik Auf diesen Beitrag antworten »

Okay neue Idee/Fertigung im neuem Jahr:

Man muss ja um zu zeigen, dass U Unterräume von V sind folgendes zeigen:

- für man zeigen muss, dass
Und die Abgeschlossenheit bei "+" und "*"

(1)
K=R, U=M(nxn, Q)



(2)


zu zeigen:



(3)





(4)
0 nicht in U


stimmt das alles?
Macht aber doch alles sinn!...
Also was ist aber die schlussfolgerung? 2&3 sind unterräume, oder?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von OrangeneMusik
(1)
K=R, U=M(nxn, Q)




Was willst du damit sagen? Was soll bedeuten? Das ergibt keinen Sinn.

Zitat:
Original von OrangeneMusik
(2)


zu zeigen:



Hier solltest du beim Nachweis der Abgeschlossenheit bzgl. noch den letzten Schritt aufschreiben, du kennst ja den Wert von .

Zitat:
Original von OrangeneMusik



Das solltest du dir nochmal angucken.

Zitat:
Original von OrangeneMusik
(4)
0 nicht in U


Stimmt.

Allgemein: du darfst gerne ein paar Sätze als Begründung dazu schreiben, dadurch wird oftmals vieles klarer und besser zu lesen. Mathematik muss nicht immer nur aus Formeln und Quantoren bestehen, Prosa ist auch zugelassen.
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