Berechnungen mit Geraden

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11.12.2011, 12:35	MietzKaro	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnungen mit Geraden Hallo ihr Lieben, also ich hab keine Ahnung wie ich diese Aufgabe lösen soll. Könnt ihr mit bitte ein paar Tipps geben? Für jedes a ist eine Gerade g durch x= (1,1,2) + t* (2a,13,-3) gegeben. Punkt M (6; 7,5; 0,5) a) Geben Sie den Wert a an, für den der Punkt M auf der Geraden g liegt. b) Es gibt genau eine Gerade g, die senkrecht zur Gerade g5 verläuft. Berechnen Sie den Wert a. Also bei der Geraden sind mit (1,1,2) und (2a,13,-3) Vektoren gemeint (also stehen die 3 Zahlen in den Klammern eigentlich untereinander). Punkt M ist außerdem gegeben. Nun weiß ich nicht, wie ich das machen soll
11.12.2011, 12:42	Traumtänzerin	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilfe, weiß nicht weiter! Zu a) Wüsstest du den unabhängig von dem a, wie du berechnest, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt? Genauso müüstest du es auch machen, nur das du eben 2 Variablen hast.. Eine Idee ?
11.12.2011, 13:02	MietzKaro	Auf diesen Beitrag antworten »
Da gibts doch diese Punktprobe, aber ich weiß nicht mehr so genau wie die ging
11.12.2011, 13:14	Traumtänzerin	Auf diesen Beitrag antworten »
Was glaubst du denn noch zu wissen? Also die "Formel" ist wirklich ziemlich einfach, deswegen würde es jetzt nichts brigne, es dir einfach hinzuklatschen.
11.12.2011, 13:24	MietzKaro	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetz fällts mir wieder ein. Wenn ich einen Punkt gegeben hatte, für den ich prüfen sollte ob er auf der Gerade liegt, musste ich den Punkt gleich der Geraden setzen. Also muss ich ja jetz den Punkt M gleich der Geradengleichung setzen oder? Also (6; 7,5; 0,5) = (1,1,2) + t* (2a,13,-3). Nur das ich alles in Vektorenschreibweise schreiben muss. Und dann zb für den x-Wert: 6= 1+ 2a *t oder y: 7,5 = 1 + 13 t und z: 0,5 = 2 - 3t Dann muss ich nach t umstellen und wenn für t dreimal der gleiche Wert rauskommt, liegt der Punkt auf der Gerade. Soweit is es ja richtig, oder? Aber wie bekomme ich das a raus? Muss ich da einfach probieren, sodass der gleiche Wert wie bei y und z rauskommt?
11.12.2011, 13:29	MietzKaro	Auf diesen Beitrag antworten »
Also für die t-Werte bei y und z komm ich jetz auf 0,5. Also muss ich jetz für a so einen Wert einsetzen, bei dem beim umstellen nach t 0,5 rauskommt. Soll ich da jetz einfach probieren?
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11.12.2011, 13:33	Traumtänzerin	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 6\\ 7,5 \\ 0,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2a\\ 13 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I : 6 = 1 + 2at<br /> II: 7,5 = 1 +13t<br /> III : 0,5 = 2 -3t \end{eqnarray}$ Also wenn du einen Wert für t herausbekommen hast, was ja in III und II sehr leicht möglich ist, da du nur eine Variable hast, kannst du doch in I diesen Wert einsetzen und so a ermitteln.. Wenn in den Gleichungen verschiedene Werte für t enstehen, heißt das doch nichts anderes, als das der Punkt nicht auf der Geraden liegt.
11.12.2011, 13:34	Traumtänzerin	Auf diesen Beitrag antworten »
Jaa. Genau das musst du machen.
11.12.2011, 13:38	MietzKaro	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahhh, ist es richtig, wenn ich für a= 6 herausbekomme?
11.12.2011, 13:52	Traumtänzerin	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 6 = 1 + 2a \cdot 0,5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 6 = 1 + a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 5 =a \end{eqnarray}$ Wie kommst du auf 6 ?
11.12.2011, 13:54	MietzKaro	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja ich hab so gerechnet: 6= 1+2a*0,5 / :0,5 12= 1+2a /:1 12= 2a /:2 6= a Hab ich da was falsch gemacht? In deiner Rechnung müsstest du doch eigentlich auch :1 rechnen und nich -1 oder?
11.12.2011, 14:04	Traumtänzerin	Auf diesen Beitrag antworten »
Also du hast durch 0,5 geteilt, und dabei deine 1 einfach 1 sein lassen. wenn du in Summen teilst, dann musst du alle Summanden teilen.. heißt du hast statt der 1 eine 2 $\begin{eqnarray} 12 = 2 + 2a \end{eqnarray}$ Und ich weiß nicht, wer dir beigebracht hat, das 1 : 1 = 0 ist, aber denjenigen sollte man steinigen. 1 - 1 = 0 und 1 : 1 = 1 !!!! Wenn du die Gleichung stattdessen direkt durch 2 teilst erhälst du $\begin{eqnarray} 6 = 1 + a \end{eqnarray}$ Jetzt subtrahierst (!!) du 1. und erhälst $\begin{eqnarray} 6-1 = 1+ a -1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 5 = a \end{eqnarray}$
11.12.2011, 14:30	MietzKaro	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, dankeschön Und wie kann ich Aufgabe b) lösen?
11.12.2011, 14:49	Traumtänzerin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nicht was g5 sein soll? steht 5 für den Wert den a für diese Gerade annehmen soll? Falls ja, dann gibt es doch auch hier eine wunderschöne Formel zum berechnen von orthogonalen Geraden.
11.12.2011, 14:51	MietzKaro	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau, die 5 soll für das a eingesetzt werden. Und wie würde die Formel lauten?
11.12.2011, 15:14	Traumtänzerin	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja bei Geraden gibt es doch Orts- und Richtungsvektoren. Und die Richtungsvekotren zeigen dir, wie die gerade verläuft. 2 geraden können also parallel oder winderschief sein, oder einen Schnittpunkt haben. Damit sie sich im Winkel von 90° schneiden, müssen die Richtugnsvekotren orthogonal sein. Das sind sie wenn, das Produkt der Vektoren den Nullvektor ergibt.
11.12.2011, 15:31	MietzKaro	Auf diesen Beitrag antworten »
Also muss ich jetz die Richtungsvektoren beider Geraden multiplizieren? Aber was meinst du mit Nullvektor?
11.12.2011, 15:49	Traumtänzerin	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wie man Vektoren multipliziert weißt du, denke ich ?!
11.12.2011, 15:56	MietzKaro	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab jetz erstmal 5 für das a eingesetzt, damit ich die Gerade g5 herausbekomme. Und da hab ich jetz raus g: x= (1,1,2) + t * (10, 13, -3) Das is ja denk ich mal soweit richtig. Jetz muss ich also die Richtungsvektoren der Geraden g5 mit der Geraden g, bei der das a als Variable im Richtungsvektor steht, multiplizieren und dem Nullvektor gleichsetzen. Also: 2a * 10 = 0 1313 = 0 -3 -3 = 0 Aber das geht ja schonmal nicht für den y- und z- Wert, weil das ja ungleich 0 ist...
11.12.2011, 16:33	Traumtänzerin	Auf diesen Beitrag antworten »
Könnntest du mit LaTex schreiben, das erleichtert mir das Verstehen der Rechnung ungemein. So multipliziert man keine Vekotren, das solltes du nochmal nachschlagen.. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2a \\ 13 \\ -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \\ 13 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Klar, dass ein Produkt von zwei Faktoren ungleich Null nicht Null ergeben kann.. Vektormultiplikation, solltest du irgendwo schonmal gemacht haben, guck da nochmal nach bitte.
11.12.2011, 16:44	MietzKaro	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinst du das ich das Kreuzprodukt darauf anwenden soll? So multipliziert man doch Vektoren oder?
11.12.2011, 16:53	Traumtänzerin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde es mit dem Skalarprodukt probieren. Das Kreuprodukt ist nochmal etwas ganz anderes.
11.12.2011, 16:57	MietzKaro	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja also muss ich jetz um das Skalarprodukt auszurechnen folgende Rechnung durchführen: (2a10) + (1313) + (-3 * -3) ?
11.12.2011, 17:31	Traumtänzerin	Auf diesen Beitrag antworten »
gleich Null setzten, Ja. Ich krieg allerdings einen krummen Wert für a raus, aber wenn dir das so gegeben ist, ..
11.12.2011, 17:38	MietzKaro	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich komm für a auf -8,9. Du auch?
11.12.2011, 17:54	Traumtänzerin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich auch, ja. Jetzt noch die Geradengleichung aufstellen und du hast es.
11.12.2011, 17:56	MietzKaro	Auf diesen Beitrag antworten »
Super Aber in der Aufgabe is ja nur formuliert, dass ich nur den Wert für a herauskriegen soll, also reicht das ja wenn ich a = -8,9 hinschreibe, oder?
11.12.2011, 18:49	Traumtänzerin	Auf diesen Beitrag antworten »
Mh, im Grunde kann das vielleicht auch reichen, ja. Aber die Gerade aufzustellen ist ja jetzt nun wirklich keine große Sache mehr , ich würde lieber mehr als weniger machen, vo allem bei so einem Schritt.^^
11.12.2011, 19:11	MietzKaro	Auf diesen Beitrag antworten »
Also müsste ja die die Geradengleichung lauten: $\begin{eqnarray} \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -17,8 \\ 13 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
11.12.2011, 19:15	Traumtänzerin	Auf diesen Beitrag antworten »
Jaaa.
11.12.2011, 19:18	MietzKaro	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen lieben Dank für deine Hilfe!!!

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