Gesamtschrittverfahren bzw. Einzelschrittverfahren

11.12.2011, 16:34	Corben	Auf diesen Beitrag antworten »
Gesamtschrittverfahren bzw. Einzelschrittverfahren Hallo Community Ich soll für die Aufgabenstellung $\begin{eqnarray} Ax =b, A \in \mathbb {R}^{n,n}, x, b, \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ zeigen, dass das Gauß-Seidel-Verfahren (ESV) aber nicht das Jacobi-Verfahren (GSV) konvergiert für $\begin{eqnarray} A=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}2&1&1\\-2&2&-2\\-1&1&2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}<br /> 1&\frac {1} {2}&\frac {1} {2}\\<br /> -1&1&-1\\<br /> -\frac {1} {2}&\frac 1 2 &1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Irgendwo musss ich einen Fehler gemacht haben, so habe ich geprüft: ESV: Die Matrix $\begin{eqnarray} B=(b_{jk})_{j,k=1,\dots,n} \end{eqnarray}$ mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray} q_1=\sum\limits_{k=1}^n \|b_{1k}\|, \quad q_j=\sum\limits_{k=1}^{j-1} \|b_{jk}\|q_k+\sum\limits_{k=j}^n \|b_{jk}\|,\quad j=2,\dots, n, \quad q= \max_{j=1,\dots, n} q_j<1 \end{eqnarray}$ konvergiert mit dem ESV. Man erhält für $\begin{eqnarray} q_1 \end{eqnarray}$ schon 2 :-( Jetzt noch die 3 Kriterien für das GSV: (1) $\begin{eqnarray} q:=\max_{j=1,\dots, n}\sum\limits_{k=1 \atop k\neq j}^n \frac{\|a_{jk}\|}{\|a_{jj}\|} <1 \end{eqnarray}$ (2) $\begin{eqnarray} q:=\max{k=1,\dots, n}\sum\limits_{j=1 \atop j\neq k}^n \frac{\|a_{jk}\|}{\|a_{jj}\|} <1 \end{eqnarray}$ (3) $\begin{eqnarray} q:=\left ( \sum\limits_{j,k=1 \atop j\neq k}^n \left (\frac{\|a_{jk}\|}{\|a_{jj}\|}\right )^2\right )^{\frac 1 2} <1 \end{eqnarray}$ da erhalte ich dann für (1) $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ (2) $\begin{eqnarray} \frac 3 2 \end{eqnarray}$ (3) $\begin{eqnarray} \sqrt{3} \end{eqnarray}$ Ich soll ja zeigen, dass es mit dem Jacobi nicht kvg und mit dem Gauß-Seidel schon. Mein Ergebniss ist, dass es für keins kvg. Jetzt hoffe ich, dass die Aufgabenstellung richtig ist und dass ich mich beim ersten einfach nur vertan hab ;-)

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