Darstellende Matrix einer Permutation

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11.12.2011, 18:32	Das Lineal	Auf diesen Beitrag antworten »
Darstellende Matrix einer Permutation Meine Frage: Guten Abend bei folgender aufgabe bräuchte ich hilfe Es sei $\begin{eqnarray} \pi \in S_{n} \end{eqnarray}$ eine Permutation und K ein Körper. Wir betrachten die Abbildung $\begin{eqnarray} f_{\pi }: K^{n}\rightarrow K^{n} \end{eqnarray}$ , welche durch $\begin{eqnarray} f_{\pi}\left(x_{1},...,x_{n} \right)=\left(x_{\pi \left(1\right) },...,x_{\pi \left(n\right) } \right) \end{eqnarray}$ gegeben ist. Zeigen Sie, dass f eine lineare Abbildung und sogar ein Isomorphismus ist. Bestimmen Sie die Koordinatenmatrix von $\begin{eqnarray} f_{\pi} \end{eqnarray}$ bezüglich der Standardbasis des $\begin{eqnarray} K^{n} \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: also ich hab so die l. Abb. gezeigt: $\begin{eqnarray} f_{\pi}\left( \left(x_{1},...,x_{n} \right)+\left(y_{1},...,y_{n} \right)\right) =\left(x_{\pi \left(1\right) },...,x_{\pi \left(n\right) } \right)+\left(y_{\pi \left(1\right) },...,y_{\pi \left(n\right) } \right)=f_{\pi} \left(x_{1},...,x_{n} \right)+f_{\pi}\left(y_{1},...,y_{n} \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_{\pi}\left( \left(x_{1},...,x_{n} \right)\lambda \right) =\left(x_{\pi \left(1\right) },...,x_{\pi \left(n\right) } \right)\lambda =f_{\pi} \left(x_{1},...,x_{n} \right)\lambda \end{eqnarray}$ und so den Isomorph: aus der l. Abb. folgt der Homomorph. und aus der def. der Permutation die bijektivität von $\begin{eqnarray} f_{\pi} \end{eqnarray}$ bis hierher denke ich das es richtig ist oder ? Bei der matrix hab ich mir folgendes gedacht das bild der Standardbasen müsste so aus sehen: $\begin{eqnarray} f_{\pi}\left(e_{1},...,e_{n} \right)=\left(e_{\pi \left(1\right) },...,e_{\pi \left(n\right) } \right) \end{eqnarray}$ und die lassen sich so darstellen $\begin{eqnarray} f_{\pi}\left(e_{1},...,e_{n} \right)=\left(e_{\pi \left(1\right) },...,e_{\pi \left(n\right) } \right)=\sum\limits_{i=1}^n \alpha_{i}e_{i} \end{eqnarray}$ daraus schließe ich das $\begin{eqnarray} \alpha_{i} \end{eqnarray}$ aus 1ern und 0ern besteht und somit auch die matrix. also so: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & ... & 1 & ... & 0 \\ ... & & & & \\ \\ 1 & & & & \\ ... & & & & \\ \\ 0 & & & & \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ aber da bin ich mir net sicher würde mich über hilfe freuen
11.12.2011, 18:57	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, f vertauscht die Basisvektoren, also stehen diese in anderer Reihenfolge in der Matrix. In jeder Zeile und in jeder Spalte steht genau eine 1, sonst alles 0.
11.12.2011, 19:00	Das Lineal	Auf diesen Beitrag antworten »
danke erst mal für die antwort also ist das so richtig ich muss nur noch hinschreiben dass in jeder zeile un spalte genau eine 1 un sonst nur 0er stehen
12.12.2011, 19:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube, das passt. Über die Bijektivität würde ich noch ein bißchen nachdenken. Entweder zeigst du es direkt (injektiv und surjektiv) oder du schließt das zum Schluß aus der Matrixdarstellung, die ja offensichtlich vollen Rang hat [WARUM ?] .
12.12.2011, 19:16	Das Lineal	Auf diesen Beitrag antworten »
un wie soll ich die bijektivität direkt zeigen
12.12.2011, 19:21	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn der Kern 0 ist. Eine Abbildung ist genau dann surjektiv, wenn das Bild jedes Element der Wertemenge enthält.
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12.12.2011, 19:30	Das Lineal	Auf diesen Beitrag antworten »
jo des war mir klar aber wie soll ich des zeigen dass der ker(f)={0} ist und im(f)={ $\begin{eqnarray} K^{n} \end{eqnarray}$ } ist sry aber da steh ich grad völlig auf dem schlauch
13.12.2011, 18:30	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu jeder Permutation $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ gibt es auch die Umkehrung $\begin{eqnarray} \pi^{-1} \end{eqnarray}$ , denn Permutationen sind bijektiv. Das ist der Schlüssel für beide Aussagen. injektiv : $\begin{eqnarray} f_{\pi}(x_1,...,x_n)=(0,...,0)\Rightarrow(x_1,...,x_n)=f_{\pi^{-1}}(f_{\pi}(x_1,...,x_n))=f_{\pi^{-1}}(0,...,0)=(0,...,0) \end{eqnarray}$ surjektiv : ein Element $\begin{eqnarray} y \in K^n \end{eqnarray}$ wird durch $\begin{eqnarray} f_{\pi^{-1}} \end{eqnarray}$ auf ein $\begin{eqnarray} x\in K^n \end{eqnarray}$ abgebildet mit $\begin{eqnarray} f_{\pi}(x)=f_{\pi}(f_{\pi^{-1}}(y))=y \end{eqnarray}$ .
14.12.2011, 16:30	Das Lineal	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die hilfe
14.12.2011, 18:32	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne. Wenn irgendwo noch ein bißchen Durchblick fehlt, dann kannst du erwähnen, dass offensichtlich gilt $\begin{eqnarray} f_{\sigma}f_{\tau}=f_{\sigma\tau} \end{eqnarray}$ , also insbesondere $\begin{eqnarray} f_{\pi}f_{\pi^{-1}}=f_{id}=id \end{eqnarray}$

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