Grad von Körpererweiterungen angeben

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lego Auf diesen Beitrag antworten »
Grad von Körpererweiterungen angeben
Ich soll folgende aufgabe lösen:

Bestimmen Sie den Grad der folgenden Körpererweiterungen und geben Sie eine Basis an:

1. über
2. über
3. über

Wir haben sowas noch nie gemacht und ich hab keine Ahnung, wie ich da vorgehen soll.

Könnt ihr mir sagen, wie man sowas macht?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Die folgenden 2 Aussagen helfen:
1. Es ist eine Basis von über wenn das Minimalpolynom von a über Grad n hat.
2. Falls , B ist eine Basis von über und C eine Basis von über ,dann ist die Menge aller Produkte von je zwei Elementen von B und C eine Basis von über

Also z.B. für die erste Aufgabe, betrachte
und wende z.B. bei jedem der drei Erweiterungsschritte 1. und am Ende (zweimal) 2. an.
Es gibt sicher noch andere Möglichkeiten die Aufgabe zu lösen, aber das wäre ein systematisches Vorgehen.

Bei der zweiten und dritten Aufgabe ist es auch nützlich, die Erweiterungskörper erst noch einfacher darzustellen (weniger oder einfachere Elemente zu finden, die den größeren Körper auch erzeugen).
lego Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir schon mal, ich hätte aber noch Fragen:

Ich betrachte erstmal die erste Aufgabe:

damit ich 1. anwenden kann muss ich zeigen, welchen Grad das Min Pol. hat.

beim ersten mal ist das nicht schwer, das Minpol von in ist f=X^2-2

aber wie siehts beim nächsten Schritt aus, was ist das Minpol von in ? g=x^2-3??
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

ist ein normiertes Polynom mit Koeffizienten in (also insbesondere in ), das als Nullstelle hat, also muss das Minimalpolynom von über schon mal ein Teiler von sein. Kann es ein echter Teiler (nicht gleich) sein? Was wäre dann?
lego Auf diesen Beitrag antworten »

Hätte es Teiler, dann wären die Teiler vom Grad kleiner 2, also 1, also linear, und müsste dann (x-sqrt(3)) lauten, oder? Und das kann nicht sein weil sqrt(3) nicht in Q(sqrt(2)) ist, stimmt die Argumentation?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist richtig. Den letzten Satz müsste man, damit alles ganz sauber ist, dann noch beweisen.
 
 
lego Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube ich habe 1 gelöst und erhalte Grad 4 mit Basis:



Stimmt das so?

Ab 2. hapert es übrigens schon wieder gewaltig. Kann es sein, dass Q(sqrt(2),sqrt(3)) das selbe ist wie Q(sqrt(2),sqrt(6))?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lego
Ich glaube ich habe 1 gelöst und erhalte Grad 4 mit Basis:


Du hast da wohl die Aussage 2. nicht richtig angewendet. Die einzelnen Erweiterungen sind jeweils vom Grad 2. Daher muss eine Basis 2*2*2=8 Elemente haben.

Zitat:
Kann es sein, dass Q(sqrt(2),sqrt(3)) das selbe ist wie Q(sqrt(2),sqrt(6))?

Ja. Das kannst du beweisen, indem du beide Teilmengenrelationen zeigst.
lego Auf diesen Beitrag antworten »

Bzgl 1.

Ich hatte 8 aber die waren teils nicht linear unabhängig.

es waren:



edit: bzgl 2:

angenommen, ich habe die Gleichheit gezeigt, dann kann ich ja wieder dein 1. benutzen und und bin dann doch auch schon fertig oder?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lego
Bzgl 1.

Ich hatte 8 aber die waren teils nicht linear unabhängig.

es waren:


Die Liste ist richtig und sie müssen linear unabhängig über Q sein nach dem Gesagten. Wie bist du darauf gekommen, dass die Menge linear abhängig sein könnte?

Zitat:
angenommen, ich habe die Gleichheit gezeigt, dann kann ich ja wieder dein 1. benutzen und und bin dann doch auch schon fertig oder?

Genau.
lego Auf diesen Beitrag antworten »

Hatte einfach einen Denkfehler mit dem linear unabhängig.

Beim zweiten erhalte ich Grad 2 mit Basis

Hättest du noch einen Tipp für das 3te für mich? Kann ich auch wieder anders schreiben?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lego
Beim zweiten erhalte ich Grad 2 mit Basis

Richtig.

Zitat:
Hättest du noch einen Tipp für das 3te für mich? Kann ich auch wieder anders schreiben?

Ein Tipp wäre, dass es ganz ähnlich wie bei 2. ist.
lego Auf diesen Beitrag antworten »

Ist es wieder ?

Btw, wie gehe ich beim zeigen der Gleichheit vor? Du sagtest durch zeigen der beiden TeilmengenRelationen.

Reicht es, wenn ich (auf Bsp 2 bezogen) zeigen kann, dass ich durch erzeugen kann und durch ?

Der Rest ist ja gleich.
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lego
Ist es wieder ?

Du vermutest richtig.

Zitat:
Btw, wie gehe ich beim zeigen der Gleichheit vor? Du sagtest durch zeigen der beiden TeilmengenRelationen.

Reicht es, wenn ich (auf Bsp 2 bezogen) zeigen kann, dass ich durch erzeugen kann und durch ?

Ja im Prinzip. Es sind ja Körper, also abgeschlossen unter 'Grundrechenarten'. Und da beide enthalten, sind sie genau dann gleich, wenn die erzeugenden Elemente des einen Körpers auch im jeweils anderem liegen.

edit: Wobei bei 3. wie ich gerade sehe stillschweigend vorausgesetzt wird, dass man schon weiß. Wenn die Aufgabe 'gemein' gestellt ist, ist es vielleicht als Teil der Aufgabe gemeint das auch noch zu beweisen.
edit2: "+" statt ","
lego Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir, im Großen und Ganzen, denke ich, hab ichs verstanden.
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